@sossella: Gli integrali relativi alla trigonometria richiedono nel 90% dei casi l'utilizzo di specifiche formule trigonometriche per venirne fuori. Se ti è possibile portare qualcosa all'esame, segnatele da qualche parte. Le principali fa bene ricordarsele.
http://it.wikipedia.org/wiki/Identit%C3 ... onometricaQuella inerente a questo è \(\displaystyle \cos 2x = 1 + 2\sin^2 x \). Nel tuo caso hai solo \(\displaystyle +\sin^2 x \) perciò diventa \(\displaystyle \frac12 + \frac12 + \sin^2 x = \frac12 + \frac{\cos 2x}{2} \).
Posto \(\displaystyle f(x) = \frac12 + \frac{\cos 2x}{2}\) hai che \(\displaystyle \frac{d}{dx}f(x) = -\sin 2x \). Ovvero ti trovi nel caso \[-\int f(x)^3f'(x)\,dx \] che coincide con quello che ha scritto Raam (a meno di un segno).
Oppure potevi direttamente derivare come ha fatto Raam, ma similmente a lui dovevi poi usare l'identità relativa alla duplicazione del seno.
[EDIT] Se conoscevi la formula della riduzione della potenza, ovvero \(\displaystyle \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \), potevi usare quella.