Data la funzione
$ { ( f(x,y)=\frac{|x|^3*|y|^(5/2)}{|x|^4 +|y|^3} se f(x,y) \ne0 ),( f(x,y) = 0 se f(x,y)=0 ):} $
Viene chiesto di:
a) studiare continuità, derivabilità, differenziabilità in (0,0).
b) Dire se, per v $ \underline{v}\in R^2:|\underline{v}| =1, $ vale la formula del gradiente
$ (\partial f)/ (\partial v)(0,0) =<\nabla f(0,0), \underline{v}> $
Allora, per la continuità
$ 0\leq \frac{|x|^3*|y|^(5/2)}{|x|^4 +|y|^3} = |y|^(5/2) * \frac{|x|^3}{|x|^4 +|y|^3} \leq |y|^(5/2) \rightarrow 0 $
e quindi la funzione è continua in (0,0).
Ma nell'ultimo passaggio ho usato che $ \frac{|x|^3}{|x|^4 +|y|^3} \leq 1 $ E' vero questo?
Cioè se x^3 fratto x^4 è sicuramente minore, o "al massimo" = 1, allora se il denominatore è maggiorato ancora di un termine positivo sarà comunque minore o uguale di 1.
Mi pare strano come metodo. Devo sbagliare qualcosa.
Per derivabilità e differenziabilità applico la definizione. E nel punto b) non ho ben capito cosa chiede.