emmerre ha scritto:Tutto perfetto tranne quando parli di quantitá di moto. Ok sul fatto che se la quantitá di moto é costante allora la risultante delle forze é nulla, ma nn capisco cosa vuoi dire quando dici che il caso é identico a quello di prima. Perché adesso parli di forze e di momenti delle forze? Non vedo il nesso.
Non e un nesso, e' un'analogia.
Nel caso di movimenti rettilinei usa forze e quantita' di moto.
Nel caso di moti rotatori, usi momenti e momenti della quantita' di moto.
Serve solo a facilitare la comprensione e a mostrare che c'e' una dualita' tra moti traslatori e moti rotatori. Ogni grandezza nei moti traslatori ha un'equivalente grandezza nel moto rotatorio:
massa m -> momento di inerzia I
Forza -> Momento
velocita' -> velocita' angolare
e cosi via.
Allora riprendiamo.
Nel caso dell'asse passante per il piano di simmetria, il momento angolare $L$ e' costante.
Infatti I e' costante e $\omega$, in assenza di momenti e' costante.
Siccome la risultante dei momenti e' pari alla variazione di $L$ (che e' nulla), vuol dire che la risultante dei momenti esterni e' nulla.
Vuol dire che il corpo ruota e l'asse di rotazione resta fisso o tutt' al piu' si muove parallelamente a se stesso.
In questo caso, ai miei tempi, si diceva che l'asse e' un asse libero di rotazione.
Ti ricordo che $\vec{L_c}=I_c\vec{\omega}$.
A causa dell'aggiunta della massa, il momento totale ora varia, non solo in modulo, ma anche in direzione, poiche' e' la somma del momento angolare simmetrico $\vec{L_c}$ piu' il momento angolare dovuto alla massa asimmetrica $\vec{L_{1c}$:
$\vec{L_t}=\vec{L_c}+\vec{L_1}=I_c\vec{omega}+\vec{L_{1c}$
Sommando per componenti, lungo l'asse $c$ e quello ortogonale a $c$ passante per la massa asimmetrica:
Componente di $\vec{L_t}$ lungo l'asse, somma delle due componenti lungo l'asse dei due momenti angolari:
$L_{tc}=I_c\omega+m_1h^2\omega = (I_c+m_1h^2)\omega$
La quantita' tra parentesi e' un momento di inerzia "generale", perche somma del momento di inerzia della massa simmetrica e di quello della massa asimmetrica. Quindi lo possiamo chiamare $I'_c$ e possiamo scrivere che
$L_{tc}= (I_c+m_1h_1^2)\omega = I'_c\omega$.
Resta adesso da calcolare la componente ortogonale. Il momento angolare simmetrico non ha componente ortogonale.
Quindi la sola componente ortogonale del momento angolare totale $L_t$ e' dovuta alla massa sbilanciante.
La sua quantita' non ci interessa, per cui lo indichiamo semplicemente come
$L_{cn}$ (componente ortogonale a $c$ di $L$.
Quello che ci interessa e' che il maledetto ruota! E siccome ruota, anche se il suo modulo si mantiene costante, il vettore stesso non e' costante. Quindi la sua derivata ${d\vec{L_{cn}}}/{dt}$ non e' nulla.
E siccome la variazione del momento angolare rispetto al tempo e' pari al momento delle forze esterne, significa per forza di cose, che il momento delle forze esterne NON e' nullo.
Cioe', a causa dell'asimmetria, l'asse non e' piu' un "asse libero di rotazione": quindi, abbandonando il sistema a se stesso, l'asse di rotazione tenderebbe a rotare intorno a un asse ortogonale ad esso (nel caso simmettrico stava fermo, o al piu' traslava parallelamente a se stesso). L'unico modo per mantenerlo parallelo a se stesso e' quello di applicare un momento esterno, che (normalmente) viene applicato all'asse per il tramite dei cuscinetti (vincoli) dell'asse.
E qui mi rifermo per riprendere fiato ed essere sicuro che non ci siano dubbi prima di valutare ${d\vec{L_{cn}}}/{dt}$.