[Analisi II] Una curva in un insieme aperto e di classe C1?

[Zodiac]

Salve ragazzi, come da titolo volevo chiedervi se è vero che dato un insieme aperto connesso ed una curva $ gamma $ tale che $ gamma[0]=x1, gamma[1]=x2 $ con x1 ed x2 interni all'insieme, allora $ gamma $ è di classe C1.

Ho un teorema, precisamente "Funzioni con gradiente identificamente nullo su un aperto connesso, sono costanti nell'insieme", nella dimostrazione si definisce questa curva $ gamma $ di classe C0, tale che $ gamma[0]=x1, gamma[1]=x2 $ , e viene successivamente detto che, dal fatto che l'insieme è aperto, gamma sarà di classe C1.

Ora non so se questa cosa è vera ma se viene detta dalle dispense del professore, immagino che lo sia. il problema è che non viene data una dimostrazione di questo fatto, quindi dovrei imparare questo passaggio "a memoria" senza capirne il significato, ed io odio imparare le cose a memoria senza capirle...
Per favore potreste venirmi in aiuto voi? grazie mille!!!

[dissonance]

Ma certo che è falso. Se una curva è di classe $C^0$ come fa a diventare automaticamente di classe $C^1$? Prendi il bordo di un quadrato per esempio.

Quello che è vero è che dati due punti $x_1, x_2$ contenuti in un aperto connesso di $\mathbb{R}^N$, esiste una curva $C^1$ che li congiunge. NON è vero che una congiungente $C^0$ diventa automaticamente $C^1$.

[Zodiac]

aspetta un'attimo, allora posto la dimostrazione del prof in modo da controllare se è giusta o sbagliata

[Zodiac]

Ipotesi: \( \mho \) aperto connesso, \( \nabla f=0 \)
Tesi: \( f \) costante in \( \mho \)

Dimostrazione: \( \mho \) connesso, prendiamo \( \gamma \in C^0 \) tale che \( \gamma(0)=x1, \gamma(1)=x2 \)
Essendo \( \mho \) aperto \( \Rightarrow \) posso fare \( \gamma \) di classe \( C^1 \)
Per ipotesi il gradiente di F è zero, costruisco quindi \( H(t)=f(\gamma(t)) \) , e andiamo ad applicare lagrange in una variabile su H(t) ottenedo:
\( H(0)-H(1)=H^1(c) \) ed essendo il secondo membro, equivalente al gradiente di F, sarà uguale a zero. di conseguenza avremo: \( H(0)=H(1) \) ovvero risostituendo con la F
\( f(x1)=f(x2) \) che è la definizione di funzione costante ed il teorema è dimostrato.
Come ho detto questa è la dimostrazione del teorema data dal prof. io l'ho capita, eccetto ovviamente il fatto della curva di classe c1

[dissonance]

Si, ok, lui "tira via" su alcune questioni di interesse per i matematici ma non per le applicazioni. Per definizione un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^n\) si dice "connesso" se ogni coppia di punti si può congiungere con un cammino continuo. Risulta poi (e questo è un teorema) che in realtà il cammino si può prendere liscio. E quindi il tuo prof prende un cammino liscio perché altrimenti potrebbe avere problemi a differenziare $f(\gamma(t))$.

Sono dettagli tecnici questi, non molto importanti.

[Frink]

Scusa dissonance, posso chiederti la dimostrazione?

Per il $C^0$ visto che siamo in un aperto connesso di $\mathbb{R}^n$ vale che connessione $\iff$ connessione per cammini, quindi il cammino continuo è garantito (peraltro, nella dimostrazione del professore, sembrerebbe che l'ipotesi di apertura non venga usata per garantire il cammino continuo, cosa che se non erro è invece necessaria).

Cosa usi per la regolarità?

[Plepp]

Se non vuoi fare questo discorso della curva che "diventa" $C^1$, puoi fare così.

Puoi ridimostrare il Teorema sostituendo $\Omega$ con una sfera $B_r(x)$ di centro e raggio qualsiasi. Lo fai senza cambiare niente nella dimostrazione precedente, con la differenza che ora, trovandoti in una sfera, puoi congiungere i varii punti con un segmento. Fatto ciò, ottieni (quasi) automaticamente che il Teorema è valido per un qualsiasi aperto che sia connesso.

[dissonance]

@Frink: graficamente è una cosa ovvia. Puoi congiungere due punti qualsiasi con una poligonale, cioè con una curva costituita da un numero finito di segmenti. Nelle giunzioni tra due segmentini ci sarà un punto di non derivabilità, ma siccome l'insieme è aperto c'è sempre un pochino di spazio per smussare un po' l'angolo e ottenere così una curva liscia.

[Frink]

Certo, ma è quello "smussare" che mi piacerebbe definire con più rigore. E' uno di quei prolungamenti $C^1$ che non mi convincono troppo, sarò troppo poco analista

[vict85]

(peraltro, nella dimostrazione del professore, sembrerebbe che l'ipotesi di apertura non venga usata per garantire il cammino continuo, cosa che se non erro è invece necessaria).

La apertura non è necessaria per la connessione per cammini. Pensa per esempio ad un dominio stellato fatto da due segmenti che si intersecano nel loro punto medio.

Al contrario è indispensabile per trovare una curva \(\displaystyle C^1 \).

Il fatto che aperto significa esiste \(\displaystyle C^1 \) a tratti è ovvio: essendo \(\displaystyle I = [0,1] \) compatto posso trovare una partizione del cammino continuo tale che gli estremi di ogni segmento della partizione di \(\displaystyle I \) sono contenuti in una palla aperta. Unendoli si trova un cammino fatto da segmenti e quindi \(\displaystyle C^{\infty} \) a tratti.

Per il passaggio basta sfruttare la interpolazione polinomiale o spline sugli stessi punti usati per la \(\displaystyle C^{\infty} \) a tratti e procedere al limite aumentando di volta in volta i punti. La dimostrazione a quel punto diventa di dimostrare che la distanza massima tra le due curve diventa zero al limite e usare il fatto che tutte le curve sufficientemente vicine al cammino sono dentro \(\displaystyle \Omega \) (ne posso dare una dimostrazione se serve).

[EDIT] Mi sono reso conto che l'approssimazione polinomiale calcola spesso l'errore usando la derivabilità della funzione che approssima, quindi prima di usare quel metodo devo ragionare sopra la cosa ancora un po'.