Ciao Alessandro.
Ho letto tutto il post, e ho capito che hai un po' di confusione. Vediamo se riesco ad aiutarti.
alessandrof10 ha scritto:ciao ragazzi la questione è semplice, dovrei capire da dove esce fuori la direzione della velocità angolare nel moto uniformemente accelerato. inizio dicendo che in questo moto sia $v(t)=|v|\hat v$ con il modulo e versore non costanti nel tempo quindi l'accelerazione è:
$a=(delv(t))/(delt)=(delv)/(delt) \hat v+v (del\hat v)/(delt)$
Per cominciare, stai parlando di moto circolare, o su una traiettoria qualsiasi che ad un certo punto non è più rettilinea? Comunque importa poco, concentrati su quello che succede nel punto in cui la traiettoria "fa la curva". In questo punto puoi sempre immaginare di sostituire il cerchio osculatore alla curva, tanto più quanto più piccolo è il $\Deltat$ . (Chiedo scusa ai puristi per come dico le cose, le metto semplici per farmi capire) .
Perchè scrivi le derivate col simbolo di derivata parziale ? Non occorre.
La velocità è un vettore : $ vecv = v*hatv$ , dove $v$ è il modulo e $hatv$ il versore, tangente ala curva nel punto. Sia il modulo che il versore possono variare nel tempo . Quindi derivando rispetto al tempo si ha :
$ veca = (dvecv)/(dt) = (dv)/(dt)hatv + v(dhatv)/(dt)$
Il primo termine al 2° membro ti dice che , fermo restando il versore $hatv$ , può cambiare il modulo $v$ del vettore nel tempo. Questo termine definisce quindi il componente
tangenziale della $veca$ .
poi viene posto che la derivata di un versore rispetto al tempo è uguale alla velocita angolare con direzione normale ovvero
$(del\hat v)/(delt)=\omega \hat n$
adesso da buon matematico ho cercato di capire perche il prof ha scritto questa cosa.In linea di principio ho capito (ditemi se è giusto ) che se prendo due versori della velocità su una traiettoria circolare rispettivamente uno al tempo $t$ e altro al tempo $(t+\Deltat)$ quindi i due versori formano un angolo infinitesimo $\Delta\phi$ che è proporzionale alla distanza tra i due versori(questa distanza è infinitesima ed rappresenta il numeratore del rapporto incrementale per ).
$(del\hat v)/(delt)=lim_(Deltat->0)(\hat v(t+\Deltat)-\hat v(t))/(Deltat)=(\Delta\phi)/(Deltat)=\omega \hat n$
quindi omega(velocità angolare) da come ce scritto sul mio libro è un vettore con direzione opposta al raggio quindi punta verso il centro della circonferenza per intenderci
Questo è giusto, ma con qualche piccola limatina . Devi supporre che hai tracciato i due versori , quello all'istante $t$ e quello all'istante $t + dt$ , da uno stesso punto : il secondo è ruotato, rispetto al primo, attorno al punto comune . Come è ruotato? Verso l'interno della curva, perché in effetti deve mantenersi sempre tangente alla curva, giusto? Fa' un disegnino a parte, e te ne accorgi.
E con quale velocità angolare puoi immaginare che ruoti questo versore? Evidentemente con la stessa velocità angolare con cui "gira" il punto che descrive la curva (sto usando un linguaggio elementare e volutamente impreciso) . Cioè, tenendo ferma la "coda" del versore, la sua punta è ruotata verso l'interno di $\omega*l$ , dove $l$ è la lunghezza del versore .
MA un versore ha
lunghezza unitaria !!! Quindi : $\omega*1 = \omega$ , no ?
Hai fatto il disegnino a parte ? Ora hai tre vettori : i due versori che ti ho detto, nei due istanti di tempo intervallati di $dt$ , e il loro lato di chiusura, che vale $\omega$ . Questo lato di chiusura è orientato come il versore $hatn$ normale alla curva in $P$, e perciò in definitiva puoi dire che :
$(dhatv)/(dt) = \omega*hatn = v/r*hatn$
Allora, se vai a sostituire nel secondo termine a secondo membro della accelerazione , hai quella che si chiama accelerazione normale o
centripeta, diretta lungo la normale alla curva, verso il centro :
$veca_c = v^2/rhatn$
In definitiva : $veca = (dv)/(dt)hatv + v^2/rhatn$
poi il prof per scrivere meglio l'equazione dell'accelerazione tira fuori dal nulla la formula di poisson in cui la velocita angolare è ortogonale al piano xy cioè ortogonale al vettore velocità... e poi perche la velocità angolare è nella stessa direzione dell asse di rotazione e invece nella formula sopra trattata giace nel piano xy ??
Ti ho spiegato perché compare $\omega$ , non viene fuori dal nulla.
La formula di Poisson dice che : $(dhati)/(dt) = vec\omegaxxhati$ ( e analoghe).
Perchè? Perché in un moto circolare uniforme la velocità tangenziale vettoriale è data da:
$vecv = (dvecr)/(dt)= vec\omegaxxvecr$ .
Cioè, disponendo $vec\omega$ sull'asse perpendicolare al piano del moto, la velocità $vecv$ è il prodotto vettoriale di $vec\omega$ con il raggio vettore $vecr$ .
In
questa vecchia e lunga discussione avevo messo dei disegni. Guarda quelli, lascia perdere le chiacchiere.
Spero sia chiaro.