Hai idea di quanto ho sudato pe capire quest'argomento? Molto nasce dal fatto che spesso sono persino i docenti a non fare molti sforzi per essere "coerenti" e "inequivocabili".
Una trasformazione si dice CANONICA se per ogni H esiste una K FATTA COME PARE A LEI tale che il sistema (P,Q,K) è Hamiltoniano. Tutte le trasformazioni che soddisfano questo ammettono funzione generatrice.
Una trasformazione si dice COMPLETAMENTE CANONICA se è canonica, e inoltre K(Q P,t)=H(q(Q,P,t),p(Q,P,t),t). Una trasformazione completamente canonica è canonica (quindi ammette funzione generatrice). Inoltre verifica altre proprietà, tra cui la conservazione delle parentesi di Poisson, l'appartenenza al gruppo simplettico, e altro). Una qualsiasi di queste ultime proprietà è indice di completa canonicità, quindi sono sufficienti a dimostrare che hanno funzione generatrice, ma non sono condizioni necessarie.