Ciao puppeteer è proprio vero che la notte porta consiglio. Mi sono accorto di aver scritto qualche castroneria. Il colpevole è sempre il
modulo .
\begin{equation}
\frac{\sqrt{x^2(x-1)}}{\sqrt{x+1}}+x
\end{equation}
Primo errore che ho commesso, se la $x$ è fuori dalla radice rimane fuori dalla radice.
Quindi denominatore comune:
\begin{equation}
\frac{\sqrt{x^2(x-1)}}{\sqrt{x+1}}+x=\frac{\sqrt{x^2(x-1)}+x \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\frac{|x|\sqrt{x-1}+x \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}
\end{equation}
Visto che $x->-\infty$ prendo il valore negativo del modulo
\begin{equation}
\frac{|x|\sqrt{x-1}+x \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\frac{-x\sqrt{x-1}+x \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}}=\frac{x(\sqrt{x+1}- \sqrt{x-1})}{\sqrt{x+1}}
\end{equation}
Razionalizzo:
\begin{equation}
x\frac{\sqrt{x+1}- \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}\frac{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+ \sqrt{x-1}}
\end{equation}
Numeratore:
\begin{equation}
x[(\sqrt{x+1}- \sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+ \sqrt{x-1})]=x[\sqrt{(x+1)^2}-\sqrt{(x-1)^2}]=x(|x+1|-|x-1|)
\end{equation}
Attenzione $\sqrt{(x+1)^2}=x+1$ se $x->+\infty$ o $\sqrt{(x+1)^2}=-x-1$ se $x->-\infty$
\begin{equation}
x(|x+1|-|x-1|)=x[-x-1-(-x+1)]=-2x
\end{equation}
Denominatore:
\begin{equation}
\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})=\sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{x^2-1}=|x+1|+\sqrt{x^2-1}=-x-1+\sqrt{x^2-1}
\end{equation}
per $x->-\infty$ il denominatore diventa:
\begin{equation}
-x-1+\sqrt{x^2-1}=-x+\sqrt{x^2}=-x+|x|=-x-x=-2x
\end{equation}
Unendo il tutto:
\begin{equation}
\lim_{x->-\infty}\frac{\sqrt{x^2(x-1)}}{\sqrt{x+1}}+x=\lim_{x->-\infty}\frac{-2x}{-2x}=1
\end{equation}
Quando hai radici quadrate è molto facile sbagliare se non si presta particolare attenzione. Ricordati che in generale quando hai:
\begin{equation}
\sqrt{(ax^2+bx+c)^2}=|ax^2+bx+c|
\end{equation}
Devi poi prendere i valori negativi o positivi a seconda del tuo limite. Se $x->+\infty$ valori positivi $ax^2+bx+c$. Se $x->-\infty$ valori negativi $-ax^2-bx-c$. Per avere una prova concreta di quanto appena detto disegna con geogebra o altri programmi.
Se riscontri qualche errore o non hai capito qualcosa chiedi pure
. Buona giornata