Serie

[francesco1993]

Qualcuno è in grado di risolvere tale serie:
$\sum_{n=0}^ \infty \frac{3^n}{3^n +1} (\frac {x+1}{2x})^n$
deterrminare l' insieme di convergenza puntuale ed uniforme.
NON voglio che svogliate l' esercizio al posto mio ma solo indicarmi quale criterio conviene applicare.

[gugo82]

Si può ricondurre ad una serie di potenze mediante un'opportuna sostituzione...

[ostrogoto]

Poi per esempio criterio della radice per le serie di potenze...
O in maniera un pochino piu' lunga se le serie di potenze proprio non ti piacciono, consideri il criterio di convergenza necessario per le serie e poi con una maggiorazione e il cambio di variabile ti riconduci a una serie geometrica per dimostrare la convergenza su un certo intervallo...

[***]

Puoi anche provare con il Criterio di Cauchy-Hadamard...o meglio ancora con il suo corollario , in modo da semplificare i conti.

[francesco1993]

allora ho applicato il criterio di Cauchy-Hadamard tramite la sostituzione $y={x+1}/{2x}$ e ritrovo che la serie di potenze converge per: $x<-1/3 vv x>1$.
riguardo gli estremi per $x=1$ trovo che diverge; ma per $x=-1/3$ la serie risulta a segni alterni non la so risolvere
E per la convergenza uniforme come la mettiamo?

[ostrogoto]

La serie di potenze $ sum_(n=0)^(+oo) 3^n/(3^n+1)y^n $ ha raggio di convergenza $ R=1 $ quindi converge per $ -1<y<1 $.
Per $ y=+-1 $ la serie non converge in quanto non e' verificata la condizione necessaria di convergenza:
$ 3^n/(3^n+1)rarr1 $ per $ nrarr+oo $. [Nel caso $ y=-1 $ se $ lim_(nrarr+oo)3^n/(3^n+1)=1 $ allora anche $ lim_(nrarr+oo)(-1)^n 3^n/(3^n+1)!=0 $, in altri termini la serie per $ x=-1/3 $ non converge]

[francesco1993]

nel secondo caso il limite è finito o è altalenante tra -1 e 1?
la convergenza uniforme come la verifico?

[***]

La convergenza uniforme la verifichi con il teorema di Abel

[ostrogoto]

Per un teorema sulle successioni se il limite di una successione e' L allora ogni sottosuccessione deve convergere ad L.
Supponiamo per assurdo che il limite in questione esista e sia L. Allora L non puo' essere 1 perche' la sottosuccessione per n dispari converge a -1, quindi il teorema sarebbe falso. Pero' il limite non puo' essere nessun altro numero $ L!=1 $ perche' la sottosuccessione con n pari converge ad 1 quindi il teorema risulterebbe falso.
Quindi il limite $ lim_(nrarr+oo)(-1)^n 3^n/(3^n+1) $ non esiste!

[ostrogoto]

Convergenza uniforme: per un teorema se $ sum_(n=1)^(+oo) a_ny^n $ ha raggio di convergenza R, allora la serie converge puntualmente su $ (-R,R) $ e uniformemente su $ [-M,M]" "AAM$ tale che $ 0<M<R $. Deduci cosa succede per la serie in esame.

Oppure in maniera piu' lunghetta puoi fare una verifica con Weiestrass "direttamente":
per l'intervallo $ (1,+oo)$ si ha convergenza uniforme su $ [M,+oo) $ per $ M>1 $ poiche' vale $ \frac{3^n}{3^n +1} (\frac {x+1}{2x})^n<=(\frac{M+1}{2M})^n $ serie geometrica convergente in quanto di ragione minore di 1 con $ M>1 $.
Un po' piu' complicato ma simile per l'altro intervallo.