Salve a tutti i forumisti,
prima di arrivare al piccolo dubbio che mi assale, espongo un po' di teoria:
Definizione di Abel convergenza
Una serie a termini complessi $\sum_{n=0}^\infty c_n$ si dice Abel convergente se $EE \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty c_n\ x^n=S$ ed $S$ è detta somma secondo Abel della serie di partenza. (Da notare che non si richiede la convergenza di $\sum_{n=0}^\infty c_n$)
Ora veniamo a questo Teorema:
Considero due serie a termini complessi $\sum_{n=0}^\infty a_n$ e $\sum_{n=0}^\infty b_n$ entrambe Abel convergenti con somma di Abel $S_1$ ed $S_2$ rispettivamente. Allora la serie $\sum_{n=0}^\infty (a*b)_n$ è Abel convergente e, detta $S_3$ la sua somma secondo Abel, si ha che $S_1*S_2=S_3$
(con $\sum_{n=0}^\infty (a*b)_n$ sto denotando il prodotto alla Cauchy tra le due serie)
Dim. Introduciamo prima il seguente lemma:
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Lemma (1): Siano $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ e $\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ due serie di potenze a termini complessi, con raggio di convergenza $R_1$ ed $R_2$ rispettivamente. Detto $R=min{R_1,R_2}$, allora la serie "prodotto alla cauchy" $\sum_{n=0}^\infty (a*b)_n z^n$ è convergente per ogni $z$ t.c. $|z|<R$.
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Allora, dalle ipotesi so che, per definizione di Abel convergenza:
\[
\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n=S_1, \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty b_n\ x^n=S_2
\]
A questo punto, a queste due ultime serie viene applicato il lemma (1) ottenendo che: $\sum_{n=0}^\infty (a*b)_n x^n=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n * \sum_{n=0}^\infty b_n x^n$
e che:
$\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty (a*b)_n x^n=\lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty a_n x^n * \lim_{x \to 1^-} \sum_{n=0}^\infty b_n x^n=S_1*S_2$ e perciò la tesi.
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I mio dubbio è questo: non capisco come si sia potuto applicare il lemma (1) alle serie $\sum_{n=0}^\infty a_n\ x^n$ e $\sum_{n=0}^\infty b_n\ x^n$, perché non avrei convergenza, convergenza che mi serve anche dopo per fare il prodotto dei limiti (no?). O forse, dall'esistenza di quei due limiti sinistri, dovrei dedurre che ho convergenza in due intorni sinistri di $1$, in modo tale da mettermi nelle ipotesi del lemma?
Un grazie a chi saprà rispondermi