Non è vero: è vero che \(\displaystyle X\) è limitato, e come puoi dimostrare \(\displaystyle\mathbb{R}^n\setminus X\) è illimitato; quindi non è vero che \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) siano punti interni a \(\displaystyle B\): possono essere anche di frontiera od esterni.Isaac888 ha scritto:...Comunque si scelgano due punti distinti $x$ ed $y$ di $\mathbb{R}^2 - X$, dalla limitatezza di $X$ $\exists B$ palla aperta tale che $B\supset X$. Poichè le palle sono convesse, abbiamo che $B$ è stellata. In particolare, per $x$ ed $y$ $\exists$ due cammini (raggi di due palle centrate nei due punti e tangenti dall'interno a $B$) che connettono $x$ ed $y$ con la frontiera di $B$ nei punti, rispettivamente, $v$ ed $w$...
Basta modificare leggermente quel punto per renderlo valido; tanto, \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) sono comunque a distanza finita da \(\displaystyle\partial B\).
Per la definizione di topologia di sottospazio: esistono \(\displaystyle A_0\) e \(\displaystyle B_0\) insiemi chiusi di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) tali che \(\displaystyle A=A_0\cap\left(\mathbb{R}^n\setminus\overline{X}\right)\) e \(\displaystyle B=B_0\cap\left(\mathbb{R}^n\setminus\overline{X}\right)\); ovvero \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\) in \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) sono l'intersezione di un insieme aperto e di un insieme chiuso, cioè sono insiemi localmente chiusi.Frink ha scritto:Perché non chiusi in $ \mathbb{R}^n $? Sia $ A $ che $ B $ sono dentro \( \mathbb{R}^n \setminus \overline{X} \) completamente, e siccome sono chiusi per la topologia di sottospazio, sono chiusi anche in $ \mathbb{R}^n $...
Esempio: Sia \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus[-1,1]=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\) è aperto; \(\displaystyle[1,2]\) è chiuso in \(\displaystyle\mathbb{R}\) e \(\displaystyle]1,2]\) è chiuso in \(\displaystyle]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\); ma \(\displaystyle]1,2]\) non è chiuso in \(\displaystyle\mathbb{R}\)!
Ovviamente, in tutto quello che ho scritto, sotto intendo che stiamo lavorando con la topologia naturale di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\)...