Buon pomeriggio a tutti,
avrei bisogno di un chiarimento sul calcolo della norma in un campo di numeri. Mostro subito un esempio per essere più chiaro.
Sia $ K = mathbb(Q) (zeta_9) $, dove $ zeta_9 $ è la radice ciclotomica nona; chiaramente $ mathbb(Q) sube K $ è un'estensione di campi di numeri. Devo calcolare la norma dell'elemento $ 1+2 zeta_9 ^3 $ (uguale a $ 1+2zeta_3 $), che appartiene a K ma non a $ mathbb(Q) $.
Il mio ragionamento è il seguente: so che la norma di un elemento è (eventualmente a meno del segno) il termine noto del polinomio minimo di quell'elemento su $ mathbb(Q) $. Essendo $ 1+2zeta_3 = sqrt(-3) $, il polinomio minimo di questo elemento su $ mathbb(Q) $ è $ X^2 + 3 $, quindi (tenendo presente che l'estensione ha grado 6) la norma di $ 1+2zeta_3 $ è $ (-1)^6 cdot 3 = 3 $.
Nella soluzione proposta dal professore, invece, si legge: poiché $ 1+2zeta_3 = sqrt(-3) $, la norma di $ 1+2zeta_3 $ vale $ 3^3 $, quasi come se elevasse alla sesta (a parte il segno) $ sqrt(-3) $... ma questa operazione più veloce, se ho ben capito, è lecita solo quando l'elemento di cui si deve calcolare la norma appartiene a $ mathbb(Q) $.
Dove sbaglio?
Grazie!