Salve a tutti. Posterò ora un limite e la sua risoluzione fornitami dal prof.
Un passaggio in particolare mi risulta macchinoso e poco intuitivo, volevo chiedere se qualcuno ha una via per giungere al risultato in maniera alternativa.
Passiamo ai fatti: Risolvere il seguente limite al variare di $\alpha$
$\lim_{n \to \infty}(n^2(e^(4/(3n+2))-1)^2)/(1+2/n^\alpha)^n$
limite notevole: $e^x-1/x \rightarrow 1$
$\lim_{n \to \infty}(n^2(4/(3n+2)))^2)/(1+2/n^\alpha)^n = \lim_{n \to \infty} (n^2(16/(9n^2)))/(1+2/n^\alpha)^n$
Dunque
$\lim_{n \to \infty} 16/9*1/(1+2/n^\alpha)^n$
Ecco il passaggio che non mi piace:
$\lim_{n \to \infty} 16/9*1/[(1+2/n^\alpha)^(n^\alpha)]^(n/n^\alpha)$
Osserviamo che $n/n^\alpha = n^(1-\alpha)$
$\rightarrow+infty$ se $ \alpha<1$
$\rightarrow1$ se $ \alpha=1$
$\rightarrow0$ se $ \alpha>1$
Dato che
$(1+2/2^n)^(n^\alpha) \rightarrowe^2$
Abbiamo
$\lim_{n \to \infty} 1/(1+2/n^\alpha)^n =$
$+infty$ se $0<\alpha<1$
$e^2$ se $\alpha=1$
$0$ se $\alpha>1$
da qui in poi lo svolgemento è semplice...
Anche voi l' avreste risolto così? O magari in altri modi più "semplici" e "immediati"?