La convenzione con la \(\imath\) (per dirla con un eufemismo) non mi piace... uso la metrica lorentziana con segnatura \((1,-1,-1,-1)\), nella quale (\(c=1\),
unità di misura razionalizzate) si ha
\[\begin{split}
F^{\alpha\beta}&:=\partial^\alpha A^\beta-\partial^\beta A^\alpha\\
&=\begin{bmatrix}
0&-E_x&-E_y&-E_z\\
E_x&0&-B_z&B_y\\
E_y&B_z&0&-B_x\\
E_z&-B_y&B_x&0
\end{bmatrix}
\end{split}\]
dove
\[
x^\alpha\equiv(t,\vec{x}),\quad A^\alpha\equiv(\phi,\vec{A}),\quad j^\alpha\equiv(\rho,\vec{j})
\]
e le definizioni dei campi sono le solite
\[
\vec{E}:=-\mathrm{grad}\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t},\quad\vec{B}:=\mathrm{rot}\vec{A}
\]
Ricavo ad esempio
\[
\mathrm{div}\vec{E}=\rho
\]
da
\[
\partial_\alpha F^{\alpha\beta}=j^\beta
\]
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
mettendo \(\alpha=k,\,\beta=0\)
1\[\begin{split}
\partial_k F^{k0}&=\partial_k(\partial^k A^0-\partial^0A^k)\\
&=-\mathrm{div}(\mathrm{grad}\phi)-\mathrm{div} \frac{\partial}{\partial t}\vec{A}\\
&=\mathrm{div}\vec{E}=j^0=\rho
\end{split}\]
e anche
\[
\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}+\mathrm{rot}\vec{E}=0
\]
da
\[
\partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0
\]
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
ponendo questa volta \(\lambda=0,\,\mu=i,\,\nu=j\)
\[\begin{split}
0&=\partial_0F_{ij}+\partial_j F_{0i}+\partial_i F_{j0}\\
&= \partial_0F_{ij}+\partial_j F_{0i}-\partial_i F_{0j}
\end{split}\]
moltiplico per \(-\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\) ricordando che \(B^k=-\frac{1}{2}\epsilon^{kij}F_{ij}\) e ottengo
\[\begin{split}
0&=-\frac{1}{2}\epsilon^{kij}\partial_0F_{ij}-\frac{1}{2}\epsilon^{kij}(\partial_jE_i-\partial_iE_j)\\
&=B^k-\frac{1}{2}\left[-(\mathrm{rot}\vec{E})^k-(\mathrm{rot}\vec{E})^k\right]\\
&=\frac{\partial}{\partial t}B^k+(\mathrm{rot}\vec{E})^k
\end{split}\]
e quindi
\[
\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}+\mathrm{rot}\vec{E}=0
\]
Per eventuali informazioni ti rimando a questa pagina di Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor.
Nel tuo caso i meno compaiono grazie alle \(\imath\) e le relazioni vanno adattate alla tua (inedita
2 almeno per me) definizione di tensore di campo, ma i calcoli dovrebbero essere in tutto e per tutto simili.
Ciao