da Falco5x » 30/07/2015, 15:52
Quando tu scrivi>:
$$J = \rho \int_0^V {{z^2}dV} $$
e poi intendi
$$\eqalign{
& dV = Ady \cr
& A = \pi {z^2} \cr} $$
tu non stai applicando la definizione di momento di inerzia, perché non stai prendendo un elemento infinitesimo di volume a distanza z dall'asse, bensì stai prendendo un dischetto di area A e spessore infinitesimo, e di raggio z.
Allora l'integrale va fatto sommando gli infiniti momenti di inerzia elementari di tali dischetti infinitamente sottili.
Ma il momento di inerzia di un disco di tal genere è:
$$dJ = \frac{1}
{2}{z^2}dm = \frac{1}
{2}{z^2}\rho dV = \frac{1}
{2}{z^2}\rho Ady = \frac{1}
{2}{z^4}\rho \pi dy = \frac{1}
{2}{y^2}\frac{{{r^4}}}
{{{a^2}}}\rho \pi dy$$
Posto quindi:
$$\rho = \frac{m}
{V} = \frac{m}
{{\int {dV} }} = \frac{m}
{{\int_0^a {\pi {z^2}dy} }} = \frac{m}
{{\int_0^a {\pi \frac{{{r^2}}}
{a}ydy} }} = \frac{m}
{{\frac{1}
{2}\pi {r^2}a}}$$
e sostituendo si ha:
$$\eqalign{
& dJ = m\frac{{{r^2}}}
{{{a^3}}}{y^2}dy \cr
& J = \int_0^a {m\frac{{{r^2}}}
{{{a^3}}}{y^2}dy = \frac{1}
{3}} m{r^2} \cr} $$
Chuck Norris ha contato fino a infinito. Due volte.