Energia di una particella carica in un campo magnetico

[Jason]

Ciao a tutti, è qualche giorno che tento di risolvere questo problema ma non sono molto esperto di fisica nucleare, ho fatto giusto un esame all'università, e in rete non trovo molto che mi possa aiutare. Qualcuno può darmi una mano? Il problema è questo:

Immaginiamo di avere una particella carica che si muove nello spazio ad una certa velocità. Dato che questa è in movimento possiede una certa energia cinetica, che si somma all'energia a riposo per dare l'energia totale della particella.
Adesso diciamo che questa particella, senza trasformarsi in una particella di tipo diverso, e quindi mantenendo la sua massa a riposo e la sua energia a riposo, viene frenata e quindi la sua energia cinetica diminuisce. Per il principio di conservazione dell'energia questa dovrà essere ceduta a qualcos'altro.

Se per esempio la particella viaggia in un mezzo saranno le sue interazioni con gli atomi che compongono il mezzo che la rallenteranno, e la sua energia sarà trasferita agli elettroni atomici, che verranno così da questi strappati portando alla ionizzazione della materia. In alcuni casi, per urti abbastanza energetici, l'interazione può portare al dislocamento degli atomi dal reticolo cristallino (se il materiale è aggregato in questo modo). Non è però questo l'aspetto su cui mi voglio concentrare: il risultato fondamentale è che la particella, rallentata dal mezzo, cede a questo la sua energia.

Ma se un mezzo non ci fosse?

Diciamo che la particella sta viaggiando nello spazio, in una zona in cui è presente un campo magnetico.
La forza che agisce sulla particella, dovuta solo al campo magnetico presente, è la forza di Lorentz: $\vecF=q\vecv^^ \vecB$. Da questa si vede che giocando sulla direzione del campo magnetico è possibile che la Forza sia negativa, e quindi che questa porti ad una decelerazione della particella, come avveniva prima con il mezzo. La presenza di un campo magnetico può quindi decelerare una particella carica. Ma come cede energia in questo caso la particella?




La prima cosa che mi è venuta in mente è la radiazione di frenamento, o Bremsstrahlung. La particella emette dei fotoni, dei pacchetti di energia, che contengono tanta energia quanta è stata persa dalla particella. Questo fenomeno avviene di solito quando delle particelle cariche vengono scagliate contro una lamina metallica ed avviene soprattutto nel caso di elettroni, molto di meno per i protoni, per via della loro massa maggiore. Non mi è chiaro perché sia la massa a regolare il fenomeno. In ogni caso se questo fosse l'unico modo con cui la particella del nostro esempio cedesse energia, questo dovrebbe avvenire indipendentemente dalla massa della particella: se è l'unico modo deve andar bene per tutte, fosse anche uno ione di uranio.

E se ci fosse anche un altro metodo? Insomma, sono abbastanza sicuro che la particella possa cedere energia tramite Bremsstrahlung quando è frenata da un campo magnetico, ma potrebbe farlo anche tramite altri meccanismi e la probabilità che avvenga in un modo o in un altro potrebbe dipendere dalla massa, dalla carica o dall'energia della particella. Ed è proprio su questi aspetti che non trovo assolutamente nessuna informazione in rete.

Provo ad andare per ragionamento. Se sulla particella agisce una forza per la sua interazione con il campo magnetico, la sorgente del campo magnetico dovrebbe ricevere una forza uguale ed opposta per la legge di azione e reazione. Questa forza porterebbe ad una accelerazione della sorgente, che così acquisirebbe energia cinetica rispettando il principio di conservazione dell'energia. Sarà che di solito le sorgenti sono grandi rispetto alla particella e quindi la forza che ricevono non supera nemmeno quella d'attrito statico, ma non ho mai sentito parlare di un effetto del genere o di una sua possibile applicazione.

[Silvere]

...la forza di Lorentz: $\vecF=q\vecv^^ \vecB$. Da questa si vede che giocando sulla direzione del campo magnetico è possibile che la Forza sia negativa, e quindi che questa porti ad una decelerazione della particella...

Io ho iniziato da pochissimo a studiare questi argomenti quindi non vorrei dire un'assurdità (se è così perdonami) ma se la porza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità, come fa a provocare una decelerazione della particella?

[Jason]

...la forza di Lorentz: $\vecF=q\vecv^^ \vecB$. Da questa si vede che giocando sulla direzione del campo magnetico è possibile che la Forza sia negativa, e quindi che questa porti ad una decelerazione della particella...

Io ho iniziato da pochissimo a studiare questi argomenti quindi non vorrei dire un'assurdità (se è così perdonami) ma se la porza di Lorentz è sempre perpendicolare alla velocità, come fa a provocare una decelerazione della particella?

È il particolare modo in cui un campo magnetico interagisce con una particella carica credo, non penso che puoi vederlo come vedi la meccanica.
Guardando semplicemente alle formule è ovvio che un prodotto scalare può venire minore di zero se l'angolo compreso è tale per cui il suo seno è minore di zero, quindi tra $\pi$ e $2\pi$. Questo porta ad una forza minore di zero, e quando c'è una forza c'è sempre una accelerazione, in questo caso minore di zero. Quindi una decelerazione.
D'altronde secondo il meccanismo di Fermi di seconda specie le particelle cariche della radiazione cosmica vengono accelerate dai campi magnetici che trovano lungo il loro cammino nello spazio, quindi se è possibile una accelerazione sarà anche possibile una decelerazione.

[v3ct0r]

Guardando semplicemente alle formule è ovvio che un prodotto scalare può venire minore di zero se l'angolo compreso è tale per cui il suo seno è minore di zero, quindi tra $ \pi $ e $ 2\pi $. Questo porta ad una forza minore di zero, e quando c'è una forza c'è sempre una accelerazione, in questo caso minore di zero. Quindi una decelerazione.

Un momento, la forza di Lorentz è definita attraverso un prodotto vettoriale perciò, come ha detto Silvere, essa risulta sempre ortogonale al piano in cui giacciono la velocità della particella e il campo magnetico.
In particolare, la forza magnetica è sempre ortogonale allo spostamento della particella, e di conseguenza non può compiere lavoro
Insomma, non vedo come un campo magnetico possa far variare l'energia cinetica di una carica in moto.

Insomma, sono abbastanza sicuro che la particella possa cedere energia tramite Bremsstrahlung quando è frenata da un campo magnetico

Il bremsstrahlung è fondamentalmente un processo di scattering e, alla luce di quanto detto sopra, sono pronto a scommettere che il frenamento dell'elettrone è legato all'azione di campi elettrici, mentre i campi magnetici
si limitano a "curvare" la traiettoria della particella.

D'altronde secondo il meccanismo di Fermi di seconda specie le particelle cariche della radiazione cosmica vengono accelerate dai campi magnetici che trovano lungo il loro cammino nello spazio, quindi se è possibile una accelerazione sarà anche possibile una decelerazione.

Il meccanismo di Fermi non lo conosco ma, cercando un po' in rete, mi sembra di capire che anche questo sia un processo
di diffusione, al quale è sottoposta una particella carica che attraversa una nube di plasma. Quindi, credo di poter estendere la considerazione già fatta sul bremsstrahlung

[Jason]

Guardando semplicemente alle formule è ovvio che un prodotto scalare può venire minore di zero se l'angolo compreso è tale per cui il suo seno è minore di zero, quindi tra $ \pi $ e $ 2\pi $. Questo porta ad una forza minore di zero, e quando c'è una forza c'è sempre una accelerazione, in questo caso minore di zero. Quindi una decelerazione.

Un momento, la forza di Lorentz è definita attraverso un prodotto vettoriale perciò, come ha detto Silvere, essa risulta sempre ortogonale al piano in cui giacciono la velocità della particella e il campo magnetico.
In particolare, la forza magnetica è sempre ortogonale allo spostamento della particella, e di conseguenza non può compiere lavoro
Insomma, non vedo come un campo magnetico possa far variare l'energia cinetica di una carica in moto.

Sì, il fatto di vettoriale e scalare è un refuso, ovviamente è vettoriale, ma credo di aver capito cosa intendi dire.
La forza è ortogonale alla velocità e quindi alla traiettoria della particella e quindi non compie lavoro, certo, ma il fatto che ci sia una forza mi da comunque un'accelerazione, e quindi una variazione di velocità. La variazione quindi è solo una variazione di direzione del vettore velocità e non del suo modulo, giusto? È un po' da quando ho fatto elettromagnetica, quindi sono un po' arrugginito

Per il meccanismo di Fermi effettivamente si parla di un campo magnetico variabile nel tempo, quindi la formula di riferimento è questa: $ grad ^^ \vecE=-(partial \vecB)/(partial t) $.

Riformulo quindi la domanda: una particella che viaggia in un campo magnetico variabile nel tempo, che produce quindi un campo elettrico, subirà in questo caso un lavoro per effetto del campo elettrico. Se questo lavoro è negativo la particella perde velocità e quindi energia cinetica, che deve cedere a qualcos'altro. Ma i questo caso l'energia non va alla sorgente del campo elettrico, e quindi alla sorgente del campo magnetico? O viene emessa tramite Bremsstrahlung?

[v3ct0r]

La variazione quindi è solo una variazione di direzione del vettore velocità e non del suo modulo, giusto?

Esatto

È un po' da quando ho fatto elettromagnetica, quindi sono un po' arrugginito

Tranquillo, io questi argomenti li ho appena studiati, eppure mi confondo in continuazione

Per il meccanismo di Fermi effettivamente si parla di un campo magnetico variabile nel tempo, quindi la formula di riferimento è questa: $ grad ^^ \vecE=-(partial \vecB)/(partial t) $.

Ok, un campo elettrico indotto può effettivamente compiere lavoro.

Riformulo quindi la domanda: [...]
Ma i questo caso l'energia non va alla sorgente del campo elettrico, e quindi alla sorgente del campo magnetico?

Ora, il caso di una singola carica in moto in un campo elettrico indotto...non so bene come trattarlo, ma credo che la variazione di energia cinetica della carica si traduca in una corrispondente variazione di energia del campo elettromagnetico.

In altre parole, quando una particella interagisce con un campo, non si ha necessariamente una variazione di energia cinetica delle sorgenti del campo, ma in generale si ha una variazione dell'energia del campo stesso.
E questo è particolarmente vero per il campo elettromagnetico, che può esistere anche in assenza delle sorgenti che lo hanno generato.

[Jason]

Riformulo quindi la domanda: [...]
Ma i questo caso l'energia non va alla sorgente del campo elettrico, e quindi alla sorgente del campo magnetico?

Ora, il caso di una singola carica in moto in un campo elettrico indotto...non so bene come trattarlo, ma credo che la variazione di energia cinetica della carica si traduca in una corrispondente variazione di energia del campo elettromagnetico.

In altre parole, quando una particella interagisce con un campo, non si ha necessariamente una variazione di energia cinetica delle sorgenti del campo, ma in generale si ha una variazione dell'energia del campo stesso.
E questo è particolarmente vero per il campo elettromagnetico, che può esistere anche in assenza delle sorgenti che lo hanno generato.

Quindi una particella carica in moto in un campo elettrico indotto da un campo magnetico variabile che venisse da questo frenata cederebbe la sua energia al campo elettrico indotto? Se così fosse, scrivendo l'energia del campo elettrico indotto nel vuoto come $U_e=1/2\epsilon_0E^2$ si ha quindi un aumento di questa, e quindi del campo elettrico indotto.

Ma se il campo elettrico non fosse indotto ma fosse l'unico campo presente, la particella cederebbe la sua energia alla sorgente del campo sotto forma di energia cinetica, per il principio di azione e reazione. Insomma, a seconda dell'origine del campo la particella cederebbe energia in modo differente.

Non so, mi sembra strano.

[v3ct0r]

l'energia del campo elettrico indotto nel vuoto come $ U_e=1/2\epsilon_0E^2 $

Usiamo pure l'energia complessiva del campo elettromagnetico (per unità di volume) $ U=1/2\epsilon_0E^2 + \frac {1} {2mu_0} B^2$

Ma se il campo elettrico non fosse indotto ma fosse l'unico campo presente, la particella cederebbe la sua energia alla sorgente del campo sotto forma di energia cinetica, per il principio di azione e reazione. Insomma, a seconda dell'origine del campo la particella cederebbe energia in modo differente.

Tieni presente che il principio di azione e reazione si riferisce solamente alle forze, non ai meccanismi energetici.
Quando due particelle interagiscono, ognuna varia la propria energia cinetica attingendo all'energia del campo
(oppure cedendo energia al campo) ma non c'è un trasferimento diretto di energia tra le particelle.

Immaginiamo, ad esempio, che due protoni siano inzialmente fermi a distanza fissata. Avremo perciò una certa energia
immagazzinata nel campo elettrico.
Nel momento in cui i protoni, respingendosi, cominciano a muoversi, ognuno acquista energia cinetica, attingendo all'energia del campo, ma non c'è un trasferimento di energia tra i protoni

[Jason]

Tieni presente che il principio di azione e reazione si riferisce solamente alle forze, non ai meccanismi energetici.
Quando due particelle interagiscono, ognuna varia la propria energia cinetica attingendo all'energia del campo
(oppure cedendo energia al campo) ma non c'è un trasferimento diretto di energia tra le particelle.

Immaginiamo, ad esempio, che due protoni siano inzialmente fermi a distanza fissata. Avremo perciò una certa energia
immagazzinata nel campo elettrico.
Nel momento in cui i protoni, respingendosi, cominciano a muoversi, ognuno acquista energia cinetica, attingendo all'energia del campo, ma non c'è un trasferimento di energia tra i protoni

Forse ho capito.

L'energia immagazzinata nel campo elettrico di una particella ferma è $U_e=1/2\epsilon_0(E_1)^2$, ma dato che il campo elettrico è definibile solo per una fissata distanza r dalla particella, $\vecE=kQ/\vecr^2$, così anche l'energia sarà fissata solo per una data distanza dalla particella, giusto?
Quindi mettendoci in un sistema di riferimento esterno alla particella, se questa si muove con una certa velocità ha una certa energia cinetica e preso un punto dello spazio la sua energia varierà perché varierà il valore del campo elettrico in questo punto, dato che varia la distanza del punto dalla particella. C'è però un bilancio tra quella che diminuisce e quella che aumenta, perché nelle zone in cui la particella è diretta il campo elettrico aumenterà, e così anche l'energia, ma in quelle che sta lasciando entrambe diminuiranno. La particella non interagisce con altre particelle e l'energia, sia cinetica che quella "totale" immagazzinata nel campo elettrico, somma di tutte le energie in tutti i punti dello spazio in cui c'è il campo, si conserva.

Se diciamo ora di avere due particelle (assumiamole dello stesso segno, il risultato non dovrebbe cambiare) l'interazione coulombiana causa su queste una forza, e quindi aumenta la loro energia cinetica. Per il bilancio dell'energia, l'energia "totale" del campo elettrico dovrà diminuire, come dici tu. Adesso il campo elettrico è dato dalla somma dei campi $E_1 + E_2$, quindi l'energia in un punto si scrive come $U_e=1/2\epsilon_0(E_1+E_2)^2$. Concentriamoci su $(E_1+E_2)^2 =E_1^2+E_2^2 + 2E_1E_2$. Possiamo pensare ai primi due termini come un'energia dovuta al campo delle singole particelle e quindi queste si conserveranno, perché sono come il caso della carica isolata. Il doppio prodotto invece è un termine di accoppiamento che diminuisce sempre, perché prendendo la regione compresa tra le due particelle l'energia chiaramente diminuisce perché il campo di entrambe diminuisce, mentre se prendiamo le regioni alle quali una particella si sta avvicinando e l'altra si sta allontanando è chiaro che i due termini si compensano a vicenda. Credo che questo si potrebbe far vedere con dei conti, ma non ho voglia di scriverli :p

Che dici, secondo te è giusto?

[v3ct0r]

L'energia immagazzinata nel campo elettrico di una particella ferma è $ U_e=1/2\epsilon_0(E_1)^2 $, ma dato che il campo elettrico è definibile solo per una fissata distanza r dalla particella, $ \vecE=kQ/\vecr^2 $, così anche l'energia sarà fissata solo per una data distanza dalla particella, giusto?

Aspetta, l'espressione $ U_e=1/2\epsilon_0 E_1^2 $ rappresenta la densità di energia elettrica, se ci fai caso nel mio post precedente ho specificato, tra parentesi, "per unità di volume".

L'energia totale del campo si ottiene integrando tale densità in tutto lo spazio in cui il campo è diverso da zero.

Ora, il caso di una singola carica puntiforme è un po' spinoso, perchè l'integrale della densità di energia elettrica diverge,
cioè l'energia del campo elettrico risulta... infinita.
Secondo il mio libro (Mazzoldi, Fisica 2) questo risultato paradossale è legato al fatto che una carica puntiforme
non è un oggetto fisico reale.

Credo che la questione si possa interpretare anche in questo modo (ma non fidarti troppo ):
In presenza di sorgenti, l'energia del campo elettrico può essere vista come energia associata all'interazione
tra le cariche.
Infatti, la forza può essere espressa come gradiente dell'energia potenziale $\vec F = - nabla U$, e anche nell'espressione tradizionale dell'energia di un sistema di due cariche $U = \frac {q_1 q_2} {4 pi epsilon_0 r}$, vediamo che l'energia è semplicemente il prodotto di una carica con il potenziale generato dall'altra.
Ma allora, in presenza di una singola carica puntiforme (e in assenza di campi esterni) l'energia del campo sarebbe l'energia legata all'interazione della particella... con sè stessa! Il che ovviamente non ha significato.

Se diciamo ora di avere due particelle (assumiamole dello stesso segno, il risultato non dovrebbe cambiare) l'interazione coulombiana causa su queste una forza, e quindi aumenta la loro energia cinetica [...]

Ovviamente anche qui, come nel caso precedente, l'energia totale del campo elettrico si ottiene integrando la densità di energia elettrica nello spazio.
In questo caso, però, credo sia più agevole calcolare l'energia usando direttamente $U = \frac {q_1 q_2} {4 pi epsilon_0 r}$
piuttosto che integrare la densità di energia elettrica.