Ciao a tutti. Devo calcolare la misura superficiale di :
$E={(x,y,z) di R3 : x^2+y^2-z^2+1=0, z>0, x^2+y^2<4}$
innanzitutto che cos'è
sarebbe la SUPERFICIE di una "campana" rovesciata con vertice in z=1 privata del suo speculare con z negativi e tale che il raggio massimo della circonferenza della campana sia 2. giusto?
Ora prima di tutto domanda importantissima: il fatto che stiamo parlando di una superficie presuppone che la misura superficiale sia l'area di tale campana. E non il volume. Non ci interessa quello che c'è dentro. Quindi è legittimo aspettarsi un integrale in massimo 2 dimensioni. Giusto?
Secondo: il "tappo" della campana, vale a dire la circonferenza $x^2+y^2=4$ non contribuisce alla nostra area (il minore è stretto). Giusto?
Se quanto detto fin qui ha senso il procedimento è più o meno standard
parametrizzo tutto con $Phi(mu,nu)=(mu,nu,sqrt(mu^2+nu^2+1)$ e ottengo come "misura elementare" esattamente $d sigma=1 dmu dnu$. Conscio che sia un caso particolare che la norma del vettore $ partial_muPhi^^ partial_nuPhi $ sia unitaria, mi ritrovo a dover fare $ intintdmudnu $ . Porto in coordinate polari con rho tra 0 e 2 e phi tra 0 e 2pi e ottengo a vista $4pi$.
È corretto? Quello di cui non sono sicuro è se così sto o non sto considerando il tappo. Se sì, come faccio a escluderlo? Banalmente tolgo l'area del cerchio di raggio 2 (r^2pi)? Se no, come avrei dovuto fare a includerlo? Banalmente aggiugnengo l'area del cerchio?
Gracias