Studio di funzione di arcotangente

[Rita28]

Salve ragazzi/e.
Devo fare lo studio di questa funzione
$ f(x,y)= arctg^2 (x^2+y^2+3) $

Considerando che la funzione è monotona strettamente crescente invece di fare le derivate prime, seconde e miste di f(x,y) (che sono un guaio ) non posso considerare la funzione $g(x)=(x^2+y^2+3)$ e studiare per questa i punti stazionari?

Grazie mille!!


p.s.: facendo in questo modo mi trovo il punto (0,0) e facendo l'hessiana mi trovo un punto di minimo. Come faccio a capire che è un punto di minimo assoluto? Io avrei detto relativo perchè arctg va da -inf a +inf invece graficizzando da walphram mi viene assoluto. Grazie!

[dan95]

Io avrei detto relativo perchè arctg va da -inf a +inf invece graficizzando da walphram mi viene assoluto

Da quando $arctan$ ha come immagine tutto $RR$?

[Rita28]

ah vero grazie ho fatto confusione con il dominio.
E per il resto va bene procedere come ho fatto?

[dan95]

Si alla fine non serve farsi troppe cose, $\arctan^2$ è abbastanza regolare a minimi e massimi di $x^2+y^2+3$ corrispondono minimi e massimi di $\arctan^2$ proprio per la sua monotonia

[Rita28]

Grazie!! Quindi in generale se ho una funzione monotona posso studiare solo il suo argomento?

[dan95]

Oddio in generale no, non direi, infatti non credo che proprietà come la concavità e convessità vengano conservate

[Rita28]

Oddio in generale no, non direi, infatti non credo che proprietà come la concavità e convessità vengano conservate

No scusami ma non ho capito. Solo per capire quale siano i punti critici e vedere se sono di minimo e massimo non posso fare così?
Non abbiamo mai parlato di concavità, convessità...

[dan95]

Ah scusa pensavo ti riferissi allo studio completo, non solo a quello dei punti critici, per il quale basta, sotto ipotesi di monotonia, solo lo studio dell'argomento.

[Rita28]

Ah scusa pensavo ti riferissi allo studio completo, non solo a quello dei punti critici, per il quale basta, sotto ipotesi di monotonia, solo lo studio dell'argomento.

Ti ringrazio tantissimo per l'aiuto!
Un'ultima cosa, questo fatto della monotonia e di studiare il solo argomento è dato da qualche particolare teorema? Come posso giustificare questo passaggio? perchè la prof non ne ha mai parlato ma se si può fare e se mi evita calcoli assurdi io preferisco fare così.

[dan95]

Il famoso teorema di Rita, no apparte gli scherzi non lo so.
So che la definizione di funziona monotona strettamente crescente/decrescente giustifica questo tipo di approccio