Oscillazioni particella presso circonferenza carica

[DavideGenova]

Ciao, amici! Una particella di carica negativa $q$ si trova in prossimità di una circonferenza, di raggio $a$ e carica positivamente con carica $Q$. La particella carica si trova posta sulla retta $\rho$ perpendicolare al piano in cui è contenuto il cerchio e passante per il suo centro, e vorrei determinarne il periodo di oscillazione sapendo che parte da ferma da una distanza \(x_0\) dal piano in cui è contenuto il cerchio.
Ponendo la direzione dell'asse $x$ parallela a $\rho$, so che il campo che agisce sulla particella carica è\[\mathbf{E}=\frac{Qx}{4\pi\varepsilon_0 (x^2+a^2)^{3/2}}\mathbf{i}\]
Tuttavia non saprei come comportarmi per trovare il tempo impiegato a tornare in $x_0$, infatti non si tratta di moto armonico a causa del denominatore non costante. Non riesco neppure ad trovare una derivata di $t$ da integrare opportunamente per trovare una differenza di tempo corrispondente al periodo di oscillazione.

Trovo oltretutto la questione molto affascinante e sarei felice di qualunque ulteriore curiosità, oltre a conoscerne il periodo, sul tipo di moto che la particella descrive, di cui sarei felicissimo di poter sapere un'espressione esplicita.
$\infty$ grazie per ogni aiuto!

[Light_]

Ciao !

Calcolati prima l'energia totale del sistema,

$ E=K+U $ con $K$ energia cinetica e $U$ energia potenziale,

poi lavori di algebra dopo aver considerato per esempio che

$ p_x=mv_x=mdot(x) $

[RenzoDF]

Andare a risolvere un'equazione differenziale del secondo ordine non lineare, come quella associata a quel moto,

$\ddot{x}=-\frac{kqQx}{m(x^2+a^2)^{3/2}}$

non è per nulla semplice; direi che, tanto per cominciare, potresti provare a supporre a >> x, ovvero andare a linearizzare la funzione forza e studiare le piccole oscillazioni intorno al centro.

[DavideGenova]

@Light_ L'energia cinetica in $x$ direi che sia \[\int_{-x_0}^{-x}\frac{kQqt}{(t^2+a^2)^{3/2}}(-1)dt=\int_{x}^{x_0}\frac{kQqt}{(t^2+a^2)^{3/2}}dt=\frac{kQq}{\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{kQq}{ \sqrt{x_0^2+a^2} }\]ma non saprei come utilizzarla...

@RenzoDF Anche tentando di usare un'approssimazione per \(|x|\ll a\) ho difficoltà perché \(\frac{kQq}{m(x^2+a^2)^{3/2}}\) \(=\frac{kQq}{m}\frac{x}{a}\frac{1}{a^2\big(1+\big(\frac{x}{a}\big)^2\big)^{3/2}}\) e mi pare che, per \(\frac{x}{a}\to 0\), vada tutto a 0...

Grazie di cuore a tutti e due e a chiunque altro voglia aggiungere!

[Cmax]

Anche non in approssimazione di piccole oscillazioni, la scrittura dei tempi di percorrenza, e quindi del periodo, in un potenziale monodimensionale $V(x)$ è un problema noto, che trovi nella maggior parte dei testi di meccanica, e che conduce a integrali del tipo $t=\sqrt{\frac{m}{2}}int\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}$. Ovviamente scrivere l'integrale per una $U(x)$ assegnata (che nel tuo caso puoi facilmente dedurre) è cosa diversa da calcolarlo (già nel caso del pendolo non è possibile in forma analitica) ...

[RenzoDF]

@RenzoDF Per usareAnche tentando di usare un'approssimazione per \(|x|\ll a\) ho difficoltà perché ... mi pare che, ... vada tutto a 0...

Non vedo perché, x non lo facciamo andare a zero ma andiamo solo a considerarlo molto minore di a e quindi avremo che

$\ddot{x}\approx -\frac{kqQx}{m a^3}$

e di conseguenza

$\omega\approx \sqrt(\frac{kqQ}{ma^3} )$

[DavideGenova]

@Cmax Utilissima formula, la cui derivazione trovo immediata, visto che sul tratto in cui il moto non si inverte \(t\mapsto x\) è invertibile e ha derivata tale che \(\frac{1}{2}m\big(\frac{dx}{dt}\big)^2=K\).
Tuttavia dell'integrando di\[\frac{T}{2}=\Delta t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int_{x_0}^{-x_0}\frac{-1}{\sqrt{\frac{kQq}{\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{kQq}{\sqrt{x_0^2+a^2}}}}dx=\sqrt{-\frac{m}{2kQq}}\int_{-x_0}^{x_0}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x_0^2+a^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}}}dx \]non riesco ad individuare una primitiva, sempre che sia esprimibile utilizzando funzioni elementari...

@RenzoDF Ah, ecco, credevo che, in questo genere di approssimazioni, si dovesse far tendere \(\frac{x}{a}\) a 0. Con questa approssimazione ottengo \[T=(2\pi)^{3/2}\sqrt{\frac{\varepsilon_0 a^3m}{|Qq|}}\]che coincide con la soluzione del libro, che, dato il carattere elementare della trattazione, credo che intenda proprio che si applichi tale approssimazione, cui, senza il tuo aiuto, non sarei mai arrivato.

$\infty$ grazie a tutti!!!

[RenzoDF]

... che coincide con la soluzione del libro, che, dato il carattere elementare della trattazione, credo che intenda proprio che si applichi tale approssimazione

Mi sa che quella approssimazione si usa anche su trattazioni non elementari, si potrebbe tentare di usare uno sviluppo che non si limiti al primo termine

$-\frac{x}{a^3} $

ma vada a considerare anche il successivo termine cubico

$-\frac{x}{a^3}+\frac{3x^3}{2a^5}$

per cercare di affrontare una soluzione analitica via equazione differenziale di Duffing, ma anche così non è proprio uno scherzo.

[DavideGenova]

Buono a sapersi. $\infty$ grazie ancora!