Propongo un argomento forse arci-trattato e arci-noto, ma di cui non so molto e che vorrei investigare un po' di piu'.
Indichiamo con $\mathbb{Q}$ il campo dei numeri razionali, e con $\bar{\mathbb{Q}}$ la sua chiusura algebrica. Sia $\mathbb{L}$ un campo intermedio con \(\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{L} \subseteq \bar{\mathbb{Q}}\) e sia \(\alpha \in \mathbb{L} - \mathbb{Q}\).
Esiste un sottocampo \(\mathbb{F} \subseteq \mathbb{L}\) tale che \(\alpha \notin \mathbb{F}\) e $\mathbb{F}$ e' massimale tra tutti i sottocampi di $\mathbb{L}$ che non contengono $\alpha$ [questo e' un esercizio carino se si sta imparando a usare il Lemma di Zorn - ammesso che io lo abbia usato correttamente].
Mi sembra che in generale non sia vero che \(\mathbb{F}[\alpha] = \mathbb{L}\), perche', ad esempio, in $\mathbb{F}$ non ci sono elementi che potenzialmente stanno in $\mathbb{L}$ e che fanno $\alpha$ ad una qualche potenza e tali elementi non stanno in $\mathbb{F}[\alpha]$. Se ad esempio \(\mathbb{L} = \mathbb{Q} [\sqrt[4]{2}]\) e $\alpha = \sqrt{2}$, allora $\mathbbF = \mathbb{Q}$ e $\mathbb{F} [\alpha] \ne \mathbb{L}$. Dico bene?
Non riesco neanche a dimostrare facilmente, anche se a occhio dovrebbe essere vero, che in generale l'estensione $\mathbb{L} | \mathbb{F}$ sia finita. E' vero?
Per ora una dimostrazione facile di questo fatto mi farebbe contento. Piu' tardi mi vorrei concentrare su sottocampi che evitano "piu' di un singolo elemento", ma di questo parleremo piu' tardi.