In effetti, la dimostrazione che avevo cercato di produrre della presunta implicazione \(\rho\in C^k(\mathbb{R}^3),\rho(\mathbb{R}^3\setminus\bar{D})=\{0\}\) \(\Rightarrow\boldsymbol{E}\in C^k(\mathbb{R}^3)\)
è sbagliata perché il discorso che avevo fatto sull'uso delle coordinate polari intorno a \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0\) è evidentemente sbagliato, altrimenti la componente $z$ del
campo generato da una sfera carica uniformemente in \(\boldsymbol{x}_0=(0,0,R)\) non divergerebbe perché esso è lo stesso di \(k\rho\int_D\frac{z_0-z}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^3}dxdydz\) dove $D$ è appunto la sfera e invece ho supposto per tale dimostrazione che \(\int_D\frac{\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^3}dxdydz=-\int_{D-\boldsymbol{x}_0}\frac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|^3}dxdydz\) converga.
anonymous_56b3e2 ha scritto:Dopo questo divertente brain storming, sarei arrivato a queste conclusioni.
1 - se $\rho$ è di classe $C^1$, allora, poiché $\mathbf{\nabla} \cdot mathbf{E}=\frac{1}{\epsilon_0} \rho$, anche $\mathbf{E}$ è di classe $C^1$
No, veramente questo, come dico nel
post originale, è ciò che si dimostra, in tutte le dimostrazioni che io abbia trovato, proprio ammettendo come ipotesi che $\mathbf{E}$ sia di classe $C^1$.
anonymous_56b3e2 ha scritto:3 - se si usano $\rho$ nulle al di fuori di un certo dominio, maneggiare con cura! In particolare, se la $\rho$ è discontinua, usando la formula di Coulomb, si ottengono valori infiniti nei bordi.
Già. Tuttavia, per tentare di dimostrare che se $\rho$ è particolarmente regolare allora il campo è continuamente derivabile, ho dato per scontato che \(\int_D\frac{\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^3}dxdydz\) sia integrabile, ma se lo fosse lo sarebbe anche \(k\rho\int_D\frac{\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}_0-\boldsymbol{x}\|^3}dxdydz\), cosa che invece il mio calcolo diretto del campo sulla superficie di una sfera carica uniformemente, il cui integrale diverge, dimostra che non è. Mi sto quindi convincendo che questo sia uno di quei casi in cui si rinuncia al rigore della matematica per esempio quando si dice che si integra il campo prodotto da tale sfera sulla propria superficie \(\oint_{\partial D}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{N}_e d\sigma\) per trovare che è uguale a \(\varepsilon_0^{-1}Q\). Invece si otterrebbe tale risultato calcolando il flusso fuori dalla sfera e passando al limite.
"Le dimostrazioni rendono bella la matematica e danno significato alla vita di un matematico" Choe Jaigyoung