Esercizio "banale" di elettrostatica.

[anonymous_56b3e2]

Sia la distribuzione discontinua di carica sull'asse $x$ definita come:

\( \displaystyle \lambda(x)=\left\{\begin{matrix} 1;-1\leq x \leq 1\\ 0;x< -1 \vee x>1 \end{matrix}\right. \) .

Calcolare il campo elettrico nel punto $x=2$.

Se considero la carica tutta nel centro (pensando a Gauss) ottengo $E(2)=\frac{1}{2} k$.

Se applico Coulomb considerando le cariche infinitesime $\lambda dx$, ottengo $E(2)=\frac{2}{3} k$.

Dove sta l'errore? Grazie.

[***]

Ciao Zpe

Il tuo problema non è . magari mi sbaglio ,equivalente al calcolo della componente x del vettore campo E nel punto 2 di un filo di lunghezza infinita posto lungo x con densità di carica lineare non uniforme?

[Palliit]

@anonymous_56b3e2: e perchè dovrebbe essere corretto considerare tutta la carica del segmento concentrata nell'origine?

Prova a fare lo stesso ragionamento su un caso ancora più banale come quello di un dipolo e arrivi ad un risultato palesemente inaccettabile (campo elettrico nullo ovunque).

[anonymous_56b3e2]

Questo problema è l'analogo in una dimensione del problema della sfera uniformemente carica (scarica fuori). Se applico Gauss, in punto fuori della sfera, il campo è come quello creato da tutta la carica concentrata nel centro. Se applico Coulomb, invece, in un punto infinitamente vicino alla sfera il campo diventa addirittura infinito.

Ne stiamo discutendo qui http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=19&t=152499.

In questo topic cercavo di estrarre quello che, secondo me, è il nucleo del problema.

ps. un dipolo non è una struttura a simmetria sferica

[***]

@Pallit , cosa ne pensi di ciò che ho scritto? Perché in quel caso lungo x si avrebbe campo elettrico nullo in qualsiasi punto dell'asse.

[Palliit]

@MillesoliSamuele: premesso che non ho letto in dettaglio la discussione citata da zpe, non capisco due cose:

1. per quale motivo il problema vada deliberatamente reso più complicato interpretando un segmento uniformemente carico come una retta a densità variabile;

2. perché, volendo proprio vedere le cose in questo modo, il campo elettrico dovrebbe avere componente nulla su tutto l'asse.

[anonymous_56b3e2]

Grazie Palliit. Ho capito il mio errore. Non è lecito estendere ad $R^1$ le conseguenze del teorema di Gauss, che vale in $R^3$, nel caso di distribuzioni di carica a simmetria centrale.

Il risultato esatto è $E(2) = \frac{2}{3} k$ (ottenuto con Coulomb).

Mi ero spaventato per il fatto che $E(1)=\infty$