Disequazione e induzione

[SnakEater25]

Salve ragazzi, non riesco a risolvere questa semplice disequazione attraverso l'induzione.
$ 2^n < n! $
Dopo vari passaggi mi blocco e non so come procedere, constatata la validità della disequazione per n=4.

Quindi, dobbiamo dimostrare dunque questa disequazione ovviamente.
$ 2^(n+1)<(n+1)! $

Attraverso l'ipotesi induttiva giungiamo a uno di questi due passagi.
$ 2^(n+1)<2n! $
o
$ (n+1)n!>2^n(n+1) $
Ed è proprio qui che mi blocco, non so come procedere.

[axpgn]

Non mi pare proprio che sia valida per $n=1$ ...

Per quanto riguarda il passo induttivo puoi vedere che $2^(n+1)<(n+1)!$ equivale a $2*2^n<n!(n+1)$ ovverossia a $2^n<n!(n+1)/2$ che per $n>=4$ è maggiore di $2^n<n!$ ...

Cordialmente, Alex

[SnakEater25]

Non mi pare proprio che sia valida per $n=1$ ...

Per quanto riguarda il passo induttivo puoi vedere che $2^(n+1)<(n+1)!$ equivale a $2*2^n<n!(n+1)$ ovverossia a $2^n<n!(n+1)/2$ che per $n>=4$ è maggiore di $2^n<n!$ ...

Cordialmente, Alex

Grazie mille, scusa ho aggiustato, è per ogni $ n>=4 $

comunque non mi è chiaro l'ultimo passaggio:
"$2^n<n!(n+1)/2$ che per $n>=4$ è maggiore di $2^n<n!$ ..."

$(n+1)/2$ è una quantità sicuramente maggiore di 1 ma non capisco perchè questa debba aiutarci nel dimostrare ciò che volevamo.

[axpgn]

Il passo induttivo ci chiede di dimostrare che $2^(n+1)<(n+1)!$ se assumiamo per vero che $2^n<n!$
Proviamo ...
Se una disequazione è vera allora moltiplicare il membro maggioritario per un valore (positivo) maggiore di uno non ne cambia il valore di verità (es. data $3<5$ che è vera, se moltiplichiamo $5$ per $2$ allora otteniamo $3<10$ che rimane vera).
Nel nostro caso, assunto per vero che $2^n<n!$, moltiplichiamo il membro di destra per $(n+1)/2$ (che per $n>=4$ è senz'altro positivo e maggiore di uno) ed otteniamo $2^n<n!*(n+1)/2$; manipoliamo algebricamente per cui $2*2^n<(n+1)!$ e quindi $2^(n+1)<(n+1)!$ cioè la tesi.

Cordialmente, Alex

[SnakEater25]

Il passo induttivo ci chiede di dimostrare che $2^(n+1)<(n+1)!$ se assumiamo per vero che $2^n<n!$
Proviamo ...
Se una disequazione è vera allora moltiplicare il membro maggioritario per un valore (positivo) maggiore di uno non ne cambia il valore di verità (es. data $3<5$ che è vera, se moltiplichiamo $5$ per $2$ allora otteniamo $3<10$ che rimane vera).
Nel nostro caso, assunto per vero che $2^n<n!$, moltiplichiamo il membro di destra per $(n+1)/2$ (che per $n>=4$ è senz'altro positivo e maggiore di uno) ed otteniamo $2^n<n!*(n+1)/2$; manipoliamo algebricamente per cui $2*2^n<(n+1)!$ e quindi $2^(n+1)<(n+1)!$ cioè la tesi.

Cordialmente, Alex

Ok grazie mille.