La proprietà universale è praticamente la definizione stessa di prodotto tensoriale. Quindi gioca un ruolo in tutto quello che fai col prodotto tensoriale
Tu vuoi costruire un morfismo che manda $m \otimes r$ in $mr$? E come fai a fare questo? Consideri
$\tau: M \times R \to T = M \otimes_R R$ data da $(m,r) \mapsto m \otimes r$, mappa bilanciata,
$beta: M \times R \to M$ data da $(m,r) \mapsto mr$ mappa bilanciata,
e deduci che esiste il tuo $\bar{\beta}: T \to M$ tale che $\beta = \bar{\beta} \tau$, cioè $mr = \bar{\beta}(m \otimes r)$.
Questa $\bar{\beta}$ sarà esattamente l'inversa che cerchi.
Senza la proprietà universale come faresti a costruire l'inversa? Non capisco proprio.
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.