Problemi Normale AA 1996/97 N1

[sprmnt21]

Dato un quadrato $ABCD$ di lato unitario, determinare la massima costante $\alpha$ e la minima costante $\beta$ per cui si ha $\alpha <= PA+PB+PC+PD <=\beta$ per ogni punto $P$ contenuto nel quadrato.

[Pachisi]

Ci provo:

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Per la disuguaglianza triangolare, $PA+PC \ge AC$ e $PB+PD \ge BD$. Dunque, $PA+PB+PC+PD \ge AC+BD=2sqrt(2)$. Il valore minimo di $2sqrt(2)$ si trova quando $P$ coincide con il centro del quadrato. Allora, la massima costante $\alpha$ tale che $\alpha \le PA+PB+PC+PD$, è $\alpha=2sqrt(2)$.
Ora, notiamo che se $P$ coincide con uno dei vertici, abbiamo $PA+PB+PC+PD=2+sqrt(2)$. Per la disuguaglianza triangolare, $PD+1 \ge PA$. In modo simile, $PD+1 \ge PC$ e $PD+sqrt(2) \ge PB$. Dunque, $PA+PB+PC+PD \le 4PD+2+sqrt(2)$. Visto che $0 \le PD \le sqrt(2)$ e noi vogliamo trovare la costante minima $\beta$ tale che $PA+PB+PC+PD \le \beta$, abbiamo $PD=0$. Ossia, $P$ coincide con $D$. Si vede semplicemente che $P$ può coincidere con qualunque vertice.
Quindi, $2sqrt(2) \le PA+PB+PC+PD \le 2+sqrt(2)$

[sprmnt21]

mi ritrovo con i valori di minimo e di massimo. Ma aggiungerei una giustificazione anche minimale per il minimo e non mi convince (per come l'ho capito) l'argomento per giustificare il max.

[Pachisi]

Cos'è che non ti convince?

[sprmnt21]

dalla relazione che hai provato $PA+PB+PC+PD≤4PD+k$, puoi ricavare direttamente che $PA+PB+PC≤k$. Anzi, essendo $P\equiv D$, vale proprio l'uguaglianza. Ma che sia $PA+PB+PC+PD≤k$ anche per $P\ne D$ in dipendenza di questa relazione io non lo vedo.

[Pachisi]

Hai ragione, non me n'ero accorto. Ora ci penso.
Un metodo alternativo è di mettere il quadrato in una sistema di assi cartesiani e trovare una funzione per la somma $PA+PB+PC+PD$. Poi si deriva e si trova il massimo. Però mi sembra ci siano molti calcoli.

[sprmnt21]

Hai ragione, non me n'ero accorto. Ora ci penso.
Un metodo alternativo è di mettere il quadrato in una sistema di assi cartesiani e trovare una funzione per la somma $PA+PB+PC+PD$. Poi si deriva e si trova il massimo. Però mi sembra ci siano molti calcoli.

Si può fare anche per via puramente sintetica.


Domanda:hint

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Cosa succede alla somma dei 4 segmenti, se si fa variare la posizione di P lungo una delle direzioni dei lati?

[sprmnt21]

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In gnerale, dato un triangolo RST e un punto interno U, si ha che

(*) $RU+US<=RU+UV+VS<=RT+TV+VS=RT+TS$, con il significato dei simboli che si desume dalla figura.
Nel caso del quadrato ABCD con un punto P interno, se P_1 e P_2 sono le proiezioni ortogonali su CD e AB e C' il simmetrico di C rispetto a P_1, si ha che P appartiene al parallelogramma BP_2C'P_1 e quindi interno ad uno dei due triangoli congruenti di cui è composto. Supponiamo sia $BP_1C'$.
Pertanto, per il lemma (*) si ha che

$BP_1+P_1C =BP_1+P_1C'>=BP+PC'=BP+PC$

La stessa relazione vale per $AP+PD$.

E ancora si applica ad $AP_1+BP_1$ che è maggiorata, ad esempio, da $AD+DB$ e quindi

$P1D+P_1C+P1_1+P_1B=DC+P1_1+P_1B<= DC+AD+BC=2+\sqrt(2)$.

PS
La prova del massimo valore minimo si ottiene direttamente applicando la diseguaglianza triangolare.