Mostrare che non è una varietà affine

[Ghio]

Sia dato il seguente insieme:
$X=\{(x,x) | x\in \mathbb{R}$ $x\ne\1}$
mostrare che non è una varietà affine in $ \mathbb{R}^{2$} $, come si può fare? Non conosco teoremi o proprietà che mi diano una mano a dimostrare che un insieme non è una varietà affine.

[Ghio]

Si potrebbe notare che la retta è una varietà: $V=\<x-y\>$, ma dovrei mostrare che non esiste nessun polinomio da aggiungere per ottenere la varietà desiderata.

[j18eos]

...non è una varietà affine nel senso della geometria algebrica?

[Ghio]

Si, cioè non può essere scritta come un sistema di polinomi, c'è qualche teorema da utilizzare?

[j18eos]

Ma scusa: la topologia di Zariski come la definisci?, e rispetto a tale topologia: com'è \(\displaystyle X\)?

[Ghio]

E' un esercizio che riguarda solo la definizione di varietà affine:
$ V=\{(a1,...,an)\in k | f_s(a1,...,an)=0\}$
dove $k$ è un campo e ${f_s}_s$ un insieme di polinomi

[j18eos]

Sì, esatto: le varietà affini, topologicamente parlando, sono insiemi... mentre \(\displaystyle X\) è un insieme...

[Ghio]

Mi sono perso qualcosa...
A me interessava mostrare che quel insieme non è una varietà affine, ma non ho idee di come farlo... dovrei far vedere che non esistono polinomi che si annullano su quel dato insieme.

[Pappappero]

Ti basta far vedere che ogni polinomio che si annulla su $X$ si annulla anche su $Y = X \cup \{ (1,1)\}$. Come hai fatto vedere, $y-x$ e' un polinomio che si annulla su $Y$.

C'e' una proprieta' topologica dei polinomi su $\mathbb{R}$ che ti aiuta a concludere: a quale proprieta' mi riferisco? Quale e' la chiusura di $X$ nella topologia euclidea di \(\mathbb{R}^2 \)?

In alternativa, puoi supporre di avere un polinomio in due variabili $f(x,y)$ che si annulla su $Y$, ma non su $(1,1)$. Siccome $Y$ e' contenuto in $X$, puoi fare una sostituzione in $f$ e ottenere un polinomio in una variabile. Poi come si conclude?

Nota bene: In questo modo si dimostra che $X$ non e' una varieta' affine chiusa in \(\mathbb{R}^2\) con questo embedding. Come varieta' algebrica tuttavia, $X$ e' una bellissima varieta' affine isomorfa, ad esempio, all'iperbole definita da $xy -1$.

[Ghio]

Ok, se facessi così:
I polinomi che si annullano (anche) su $X$ sono quelli contenuti nell'ideale $I=<y-x>$, questi però si annullano su tutto $Y=X\cup\{(1,1\}$ quindi $X$ non è una varietà affine.
Potrebbe andare? (per un esame di geometria)