In generale quella formula è sbagliata, ciò che bisogna fare è ragionare sulla circonferenza goniometrica.
Se il numero complesso è puramente immaginario, come $z=i$
piano di gauss
è facile vedere che l'angolo tra l'asse delle ascisse è il vettore z è di $pi/2$,
inoltre si ha che $lim_{x->0} \arctan(1/x)=\pi/2$.
Se il numero complesso si trova nel secondo quadrante, quindi in generale è nella forma $z=x+iy$ con $x<0$ e $y>0$ allora,
sicuramente l'argomento dev'essere compreso tra $pi/2$ e $\pi$.
Prendiamo ad'esempio $z=-1+i$ rappresentato in rosso,
piano di gauss
se applico brutalmente la formula ottengo $arctan(1/-1)=-\pi/4$ che si trova nel 4 quadrante, quindi per ottenere il giusto risultato devo sommare $\pi$.
Tieni sempre presente che l'arcotangente è definita solo nel 1 e 4 quadrante, quindi otterrai subito il valore esatto solo con numeri complessi che vivono da quelle parti, ossia con x>0. Il caso x=0 è sempre banale come abbiamo visto nel primo esempio... Spero di essere stato chiaro
Dante.
