Qualche spunto per un problema di meccanica?

Messaggioda pippo93 » 19/05/2013, 23:12

Ciao,

Su due guide orizzontali e parallele, distanti tra loro $d$, possono scorrere senza attrito due piccoli anelli, di masse $m_1$ e $m_2$; i due anelli sono collegati tra loro da una molla ideale di lunghezza a riposo trascurabile e costante elastica $k$. All'istante $t=0$ si imprime all'anello di massa $m_1$ una velocità $v_1$, mentre il secondo anello a quell'istante è in quiete. si calcoli l'allungamento massimo della molla e il tempo minimo che si deve attendere affinché ciò avvenga.

Ho provato a impostarlo ma senza risultati... qualche spunto per procedere?

grazie!
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Re: Qualche spunto per un problema di meccanica?

Messaggioda yoshiharu » 20/05/2013, 10:23

pippo93 ha scritto:Ho provato a impostarlo ma senza risultati... qualche spunto per procedere?


Prova ad andare nel sistema del centro di massa, e facci sapere come va.
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Re: Qualche spunto per un problema di meccanica?

Messaggioda pippo93 » 20/05/2013, 20:45

ok ci provo.

Siccome sul corpo non agiscono forze esterne la quantità di moto totale del sistema $Q$ è costante. $Q=m_1v_1=(m_1+m_2)v_G$ dove $v_G$ è la velocità del centro di massa. Consideriamo il sistema di riferimento solidale col centro di massa $G$, in questo sistema la prima massa possiede un'energia cinetica $E_1=frac{1}{2}m_1(v_1-v_G)^2$ all'istante $t=0$, mentre la seconda massa possiede un'energia cinetica uguale a $E_2=frac 1 2 v_G^2$. L'allungamento massimo si realizza quando entrambe le due energie cinetiche sono pari a 0, infatti tutta l'energia cinetica si è trasformata in energia potenziale nella molla. L'allungamento massimo $l$ è quindi definito dalla relazione $1/2 k(l-d)=E_1+E_2$. Facendo i conti viene diverso dal libro, immagino ci sia qualche erroraccio :roll:
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Re: Qualche spunto per un problema di meccanica?

Messaggioda mathbells » 21/05/2013, 02:16

Per calcolare l'allungamento massimo non è necessario mettersi nel riferimento del cdm. L'energia totale del sistema (che si conserva) è

\(\displaystyle E=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}kd^2 \)

L'allungamento massimo $l$ si ha quando tutta l'energia è potenziale quindi

\(\displaystyle \frac{1}{2}kl^2=E \)

da cui si ricava

\(\displaystyle l=\sqrt{d^2+\frac{m_1v_1^2}{k}} \)
Teoria della Pizza: (F=farina; A=acqua; L=lievito; S=sale)
\(\displaystyle F=p\frac{\pi}{4}nd^2h\,\,;\quad A=\frac{1}{2}F\,\,;\quad L=\frac{1}{20}F\,\,;\quad S=\frac{1}{40}F\)
p=0,433 $g$/$cm^3$ = costante universale della pizza; n=numero di pizze; d=diametro; h=spessore.
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Re: Qualche spunto per un problema di meccanica?

Messaggioda yoshiharu » 21/05/2013, 02:27

pippo93 ha scritto:Consideriamo il sistema di riferimento solidale col centro di massa $G$, in questo sistema ...
la seconda massa possiede un'energia cinetica uguale a $E_2=frac 1 2 v_G^2$.


Sicuramente nella trascrizione ti e' saltata la massa della particella.

L'allungamento massimo si realizza quando entrambe le due energie cinetiche sono pari a 0, infatti tutta l'energia cinetica si è trasformata in energia potenziale nella molla. L'allungamento massimo $l$ è quindi definito dalla relazione $1/2 k(l-d)^2=E_1+E_2$.


L'idea e' giusta, ma ricordati che lo zero dell'energia potenziale deve essere uguale da entrambi i lati: quindi l'equazione corretta sarebbe

[tex]\frac{1}{2} k l^2=E_1+E_2+\frac{1}{2}kd^2[/tex]

Peraltro l'energia cinetica del sistema a due corpi si puo' scrivere in termini della massa ridotta e della velocita' relativa, per cui puoi anche risparmiarti qualche passaggio ;-)

Edit: Avevo imbarazzantemente aggiunto per errore una distanza di riposo non nulla della molla :-(...
Ora ho corretto...
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Re: Qualche spunto per un problema di meccanica?

Messaggioda yoshiharu » 21/05/2013, 10:05

mathbells ha scritto:L'allungamento massimo $l$ si ha quando tutta l'energia è potenziale quindi

\(\displaystyle \frac{1}{2}kl^2=E \)


Quindi entrambe le masse sono ferme? ;-)

da cui si ricava

\(\displaystyle l=\sqrt{d^2+\frac{m_1v_1^2}{k}} \)


La formula e' quasi giusta, diventa completamente corretta se consideri il moto nel centro di massa: in quel caso l'energia cinetica si divide in un termine (costante da solo) che e' l'energia cinetica del CM $\frac{1}{2} M_{T} v_{cm}^2$, piu' il termine dell'energia del moto relativo $\frac{1}{2}\mu v_{rel}^2$ ($\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$ e' la massa ridotta). Il primo termine, comparendo uguale in entrambi i membri si elide, resta

[tex]l = \sqrt{d^2+\frac{\mu v_1^2}{k}}[/tex]
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Re: Qualche spunto per un problema di meccanica?

Messaggioda mathbells » 22/05/2013, 02:46

yoshiharu ha scritto:Quindi entrambe le masse sono ferme? ;-)


Oh cavolo! Ho completamente ignorato il fatto che se le due masse sono ferme...addio conservazione della quantità di moto! :oops: Ora vado a sotterrarmi :-D
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