Proprietà dei triangoli

[ciromario]

Siano ABC il generico triangolo ed H i suo ortocentro ( vedi fig.). Detti $H_1,H_2,H_3$ i simmetrici di H rispetto alle rette dei lati di ABC, dimostrare che tali simmetrici appartengono alla circonferenza circoscritta ad ABC.

[gugo82]

In cui "conciclici" significa...? "Giacenti su una stessa circonferenza"?

Se è così, la cosa mi pare banale, giacché per i tre punti \(H_1\), \(H_2\) ed \(H_3\) passa un'unica circonferenza (essendo essi distinti e non allineati)

[robbstark]

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Indico con $P_1$, l'intersezione di $HH_1$ con $AB$, e analogamente $P_2$ e $P_3$; $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ gli angoli interni di $ABC$ rispettivamente in $A$, $B$ e $C$.
I triangoli $CHP_3$ e $CAP_1$ sono simili, essendo rettangoli con un angolo in comune, dunque:
$ C \hat{H} P_3 = \alpha$
$B \hat{H}H_1 = C \hat{H} P_3 = \alpha$, in quanto angoli opposti al vertice.
Analogamente si ricava $A \hat{H}H_1 = \beta$.
Dunque $A \hat{H}B = \alpha + \beta$.
In pochi passaggi:
$A \hat{H_1}B = A \hat{H}B = \alpha + \beta$
Allora:
$A \hat{H_1}B + A \hat{C}B = \alpha + \beta + \gamma = \pi$
Per cui $A$, $B$, $C$ e $H_1$ appartengono alla stessa circonferenza.
In modo analogo si procede per $H_2$ e $H_3$.