Esercizio moto rotolamento.

[BigRaf]

Buonasera vorrei avere dei chiarimenti su questo esercizio:

Una palla da biliardo è colpita da una stecca. La retta d'azione dell'impulso applicato è orizzontale e passa per il centro di massa. Conoscendo la velocità iniziale $V_0$, il raggio $R$, la massa $M$ e il coefficiente d'attrito tra tavolo e palla $\mu$, calcolare lo spostamento del centro di massa della palla quando è terminata la fase di rotolamento e slittamento.

Per la risoluzione inizialmente ho pensato di usare l'approccio energetico impostando così il problema
$L_nc=\Delta E$
$-f_k \dot \Delta S= 1/2I \omega_f^2- 1/2 m V_0^2$
Alla fine dei calcoli però non mi trovo, vorrei capire dove è l'errore nel ragionamento.

L'esercizio l'ho risolto calcolando prima il tempo che la palla impiega a concludere la prima fase del moto, ponendo la condizione $\omega \dot R= V_G$, e successivamente usando le leggi della cinematica.

Grazie per l'aiuto

[navigatore]

Inizialmente il colpo assestato alla palla la fa strisciare , cioè non si tratta, all'inizio, di rotolamento puro, ma di rotolamento accompagnato da strisciamento.
Solo dopo un po', siccome c'è perdita di energia e quindi la velocità diminuisce, termina lo strisciamento, e inizia la fase di rotolamento puro.
La velocità che tu hai invece imposto, è quella che compete al moto di rotolamento puro, come se iniziasse subito, ma viene dopo.

Considera invece le forze agenti sulla palla, dopo che è stato impresso il colpo con la stecca (quindi questo colpo serve solo a impartire alla palla la velocità $v_0$ iniziale).
Dopo il colpo, il peso è sempre equilibrato dal piano, come prima, e d'accordo. C'è poi la forza di attrito radente col piano, costante, per cui il moto di strisciamento è uniformemente decelerato.
Ora consideriamo il momento della quantità di moto iniziale della palla, dopo il colpo, rispetto a un qualunque punto fisso del piano $P$.
Esso ha modulo : $L_i = v_0 MR$.
Siccome la forza di attrito $F_r $ esercitata dal piano sulla palla durante lo strisciamento ha momento costantemente nullo rispetto a $P$, il momento angolare prima detto si conserva durante tutto il moto. E si conserva indipendentemente dal tipo di moto.
Nota che durante la seconda fase, quella di rotolamento puro, la forza di attrito non c'è più (siamo nell'ipotesi di corpi rigidi e vincolo perfetto, non entra in gioco alcun attrito volvente qui), la palla rotola senza cambiare la velocità finale raggiunta dopo la prima fase, e senza più consumare energia (caso ideale, evidentemente!).

Perciò, si tratta di uguagliare il momento angolare iniziale a quello finale :

$v_0MR = v_(f)MR + I_c*\omega = v_(f)MR + I_c*v_f/R$

in cui $I_c$ è il momento di inerzia della palla rispetto a un asse baricentrico, da cui puoi ricavare la velocità finale $v_f$.

Poi puoi scrivere quanto vale l'energia cinetica alla fine della fase detta, che si conserva durante il successivo moto di rotolamento puro :

$E_f = 1/2 Mv_f^2 + 1/2I_c\omega^2$

che è inferiore a quella iniziale $1/2Mv_0^2$ : la differenza è andata via come lavoro della forza di attrito.

[BigRaf]

Ciao navigatore, grazie della risposta!
Ho diviso il problema in due parti, proprio come hai descritto tu sopra. Ho pensato che il problema potesse riferirsi solo alla prima fase di strisciamento, in quanto non mi è dato alcun coefficiente di attrito radente, quindi la palla continuerebbe a muoversi all'infinito una volta conclusa la prima parte. Nella prima fase di strisciamento il momento torcente esterno è uguale al momento torcente della forza di attrito, che quindi dà al corpo un'accelerazione angolare $\alpha$. Se mi fossi trovato all'esame io avrei optato per la risoluzione con il metodo energetico, impostando così l'equazione
$-f_k \Delta S= 1/2 I \omega^2 - 1/2 m V_0^2$
dove al primo membro troviamo il lavoro esterno compiuto dall'attrito, al secondo membro invece $1/2 I \omega^2$ rappresenta l'energia cinetica finale(fase di strisciamento) che è solo rotazionale, e $1/2 m V_0^2$ rappresenta l'energia cinetica iniziale dovuta all'impulso esterno della stecca. I calcoli però diventano un pò laboriosi e alla fine il risultato non corrisponde con quello del testo. Se fossi stato all'esame avrei perso tempo e sbagliato anche l'esercizio. Quindi quello che chiedevo è: dove è l'errore nel mio ragionamento "energetico"?

[navigatore]

LA tua risposta richiede che io dia qualche chiarimento in merito alla mia, perché forse non sono stato chiaro, o forse ho interpretato male il testo del problema.

Ho diviso il problema in due parti, proprio come hai descritto tu sopra. Ho pensato che il problema potesse riferirsi solo alla prima fase di strisciamento….

E infatti, è quello che ho pensato io. Ho pensato il moto della palla diviso in due fasi :

1)strisciamento iniziale, e rotolamento : in tale fase, il moto è rototraslatorio con velocità lineare decrescente e velocità angolare crescente. Siamo d'accordo che inizialmente essa ha una velocità di traslazione $v_0$ , cui corrisponde l'en. cinetica iniziale $1/2Mv_0^2$.
2) fine dello strisciamento, dopo un certo tempo $t$ per ora incognito, e inizio del rotolamento puro, il che significa che la velocità di traslazione $v_f$ è legata a quella di rotazione rispetto al cdm dalla relazione :
$v_f = \omega*R$
Nota che con $v_f$ io intendo la velocità "finale" traslatoria della prima fase, che la palla mantiene costante durante la seconda fase di rotolamento puro (ipotesi ideale).

Durante la seconda fase, infatti, non esiste "idealmente" attrito tra palla e piano. L'attrito radente, o dinamico, esiste durante la prima fase. Perché dici questo che segue ?

…...in quanto non mi è dato alcun coefficiente di attrito radente….

Il coefficiente di attrito $\mu$ di cui parla il problema è proprio quello di attrito radente, non mica quello statico.
Non hai bisogno di sapere l'attrito statico.
Nella fase di rotolamento puro senza strisciamento, non c'è forza di attrito di alcun genere (caso ideale, ripeto!), e la palla continua a muoversi di moto rototraslatorio a velocità di traslazione $v_f$ e rotazione $\omega = v_f/R$ costanti "all'infinito", proprio come dici tu dopo :

….. quindi la palla continuerebbe a muoversi all'infinito una volta conclusa la prima parte.

esattamente, proprio così! Il fatto è, ripeto, che siamo in un caso ideale, corpi rigidi, vincolo perfetto, e ci facciamo condizionare da quella che è la nostra esperienza pratica : noi vediamo che la palla "reale" prima o poi si ferma…e questo succede perché i corpi "reali" non sono rigidi e i vincoli non sono perfetti. Il contatto "ideale" puntiforme non esiste, la palla "reale" a contatto col suolo si deforma un po', pure il piano reale si deforma un po', e nasce attrito volvente tra i due corpi, il quale è un "momento resistente passivo" che fa decelerare la palla fino all'arresto.Senza contare che c'è l'attrito con l'aria, che contribuisce ad arrestare la palla nel caso reale.

Ma noi in Fisica elementare dobbiamo continuare a ragionare come se tutto si svolgesse "idealmente".

Non so se ho reso l'idea.

Con riferimento al mio primo post, risolvo la prima equazione al completo :

$v_0MR = v_(f)MR + I_c*\omega = v_(f)MR + I_c*v_f/R = v_(f)MR + 2/5MR^2 v_f/R = 7/5v_f* MR $

da cui si ricava che la velocità finale dopo la fase di slittamento è : $v_f = 5/7 v_0$.

In questa fase dunque il moto traslatorio avviene con perdita di energia cinetica. Quanto vale l'energia cinetica alla fine della fase di slittamento ? Evidentemente :

$E_f = 1/2 Mv_f^2 + 1/2I_c\omega^2 = 1/2 Mv_f^2 + 1/2*2/5MR^2 *v_f^2/R^2 = 1/2Mv_f^2(1 + 2/5) = ……= 5/7(1/2Mv_0^2) = 5/7 E_i$

che è ovviamente inferiore a quella iniziale $1/2Mv_0^2$ : la differenza è andata via come lavoro della forza di attrito. Perciò risulta : $|L_a| = E_i - 5/7E_i = 2/7 E_i = 2/7*1/2Mv_0^2 = 1/7 Mv_0^2$

Quindi la forza di attrito, costante e pari a : $F_a = \muMg$ , ha compiuto il lavoro di attrito negativo :

$L_a = - \muMg * \Delta x = - 1/7Mv_0^2$

E quindi lo spostamento traslatorio della palla durante questa fase è : $\Deltax = 1/7v_0^2/(\mug)$

Ecco, secondo me questa è la soluzione. Non so se coincide con quella che hai tu, ma se le mie ipotesi sono giuste dovrebbe coincidere. Ripeto che il testo da te postato non mi sembra molto chiaro.

Ma vediamo che cosa hai scritto tu :

Nella prima fase di strisciamento il momento torcente esterno è uguale al momento torcente della forza di attrito, che quindi dà al corpo un'accelerazione angolare $\alpha$.

(Non dire "momento torcente" , la torsione è un concetto diverso….parla solo di "momento").

Se mi fossi trovato all'esame io avrei optato per la risoluzione con il metodo energetico, impostando così l'equazione
$-f_k \Delta S= 1/2 I \omega^2 - 1/2 m V_0^2$
dove al primo membro troviamo il lavoro esterno compiuto dall'attrito, al secondo membro invece $1/2 I \omega^2$ rappresenta l'energia cinetica finale(fase di strisciamento) che è solo rotazionale, e $1/2 m V_0^2$ rappresenta l'energia cinetica iniziale dovuta all'impulso esterno della stecca. I calcoli però diventano un pò laboriosi e alla fine il risultato non corrisponde con quello del testo. Se fossi stato all'esame avrei perso tempo e sbagliato anche l'esercizio. Quindi quello che chiedevo è: dove è l'errore nel mio ragionamento "energetico"?

Come hai visto, anch'io ho usato un "metodo energetico" , però tu hai fatto l'ipotesi che l'energia cinetica finale sia solo rotazionale alla fine della fase di strisciamento : e quella di traslazione, dov'è ? Ben inteso, tutto dipende da quale momento di inerzia $I$ stai considerando: non ho fatto verifiche, ma forse il tuo metodo potrebbe funzionare se considerassi il momento di inerzia rispetto al centro di istantanea rotazione…Forse è qui l'inghippo. L'energia finale andrebbe calcolata considerando il teorema di Koenig per il momento di inerzia…

E poi comunque una sola equazione non basta! Come determini $\omega$ ?

[BigRaf]

Ciao navigatore, scusa se rispondo con un po' di ritardo ma ho cercato di capire e applicare quanto hai scritto. Alcuni discorsi che hai fatto nella precedente risposta non li ho capiti fino in fondo perché non siamo allo stesso livello.
Per esempio, non ho dimestichezza con il concetto di momento angolare, lo stesso vale per il concetto di momento (che è diverso da momento torcente come mi ha fatto notare).
Tornando all'esercizio, trovo molto elegante l'applicazione della conservazione del momento angolare ma non ho capito perché l'applichi, è possibile usare il concetto di asse istantaneo di rotazione anche con il moto di trascinamento?

Il risultato del testo è $\Delta S= 12V_0^2/49\mu g$ in disaccordo con i tuoi calcoli, però andando a sostituire $V_f=(5/7) V_0$ nella relazione $-f_k \dot \Delta S=1/2 V_f^2 - 1/2 V_0^2$ ed il risultato coincide con la soluzione del testo.

Questa che segue è la mia risoluzione.
Dalle due equazioni cardinali ottengo:
$f_k=ma_c \rightarrow a_c = \mu g$
$r\dot f_k=I \alpha \Rightarrow r\dot f_k=2/5 m r^2 \alpha \Rightarrow \alpha=5/2 (\mu g)/r$

Dalla cinematica
$\omega (t)= \omega_0 + \alpha t$
$V_c(t)= V_0-\mu g t$

Visto che cerchiamo il tempo che passa perchè il moto diventi di puro rotolamento, sfruttiamo la relazione $\omega r= V_c$
quindi
$(\alpha \dot t) r = V_0 - \mu\dot g\dot t$
$ 5/2 (\mu g)/r r t= V_0-\mug t \Rightarrow t=2/7 V_0/(\mug)$

Sostituendo il tempo ottenuto nell'equazione $s(t)= V_0 t -1/2 a_c t^2$ si ha
$s(t)= V_0 (2/7 V_0/(\mug)) - 1/2 \mu g (2/7 V_0/(\mug))^2$ e alla fine si ottiene $\Delta S= 12/49 V_0^2/(\mu g)$

[navigatore]

Non so se ho fatto un errore nel calcolo della variazione dell'energia cinetica, comunque siamo d'accordo che al termine della fase di slittamento si ha : $v_f = 5/7v_0$.

Perciò, si può procedere sia come hai fatto tu con l'equazione del moto unif. decelerato, sia con il calcolo diretto del lavoro della forza di attrito come differenza dell' energia cinetica finale e iniziale del tratto in cui avviene lo slittamento, e tenendo conto che nel rotolamento successivo senza slittamento non si ha perdita di energia (caso ideale, sempre!).

Quindi si ha semplicemente :

$E_f - E_i = 1/2M(5/7v_0)^2 - 1/2Mv_0^2 =…..= -(12)/(49)Mv_0^2$

$L_a = -f_k*\Deltas = -\mu*Mg*\Deltas $

e uguagliando : $ -\mu*Mg*\Deltas =-(12)/(49)Mv_0^2 $

da cui : $ \Delta s = (12)/(49) v_0^2/(\mug)$

Però risolvendo con il tuo procedimento, che immagino sia quello del libro, non è chiaro se nella prima parte c'è solo slittamento, senza rotazione, oppure si considera sia slittamento che rotazione….questo fatto andrebbe chiarito.

E francamente, ora che ci ripenso, sul calcolo dell'energia cinetica finale e di quella perduta sono un po' perplesso, non so se la mia soluzione precedente, in cui consideravo anche la parte rotazionale della energia cinetica finale, sia sbagliata…Con la tua soluzione, viene fuori una en. cinetica finale maggiore della mia…e chi dà alla palla l'energia di rotazione, oltre a quella di traslazione?

Non sapevo che non avessi dimestichezza con il concetto di momento angolare.
Certamente si può usare anche nel caso di un moto traslatorio : basta calcolare il momento, rispetto ad un certo polo fisso, del vettore quantità di moto del corpo applicato nel cdm.
Se ad es. un corpo ha $\vecQ = M\vecv_C = "cost"$ , in un certo riferimento, vuol dire che la velocità del cdm $C$ in quel riferimento è una costante vettoriale, quindi il cdm si sta muovendo su una retta. Se prendi un polo $P$ fuori della retta, puoi calcolare il momento angolare rispetto a $P$ come :

$\vecL = \vecr\times M\vecv_C $

dove $\vecr$ è il raggio vettore $ \vec (PC)$ . Il modulo di $\vecL$ è costante , e vale $Mv_cd$ , dove $d$ è la distanza tra il polo $P$ e la retta.

[lor_fra]

Grazie a navigatore per avermi indirizzato qui,ho lo stesso problema ma continuo a non trovarmi.Riporto il testo del problema:
Un cilindro omogeneo di massa $M=2kg$ e raggio $R=10cm$ scivola senza ruotare con velocità $V0=6m/s$ su un piano orizzontale liscio.Ad un certo istante il cilindro raggiunge il punto A in cui il piano diviene improvvisamente ruvido,e tra cilindro e piano si sviluppa una forza di attrito indipendente dalla velocita,con coefficiente di attrito dinamico $\mu =0,40$.Calcolare l energia dissipata tra il punto A ed il punto B durante la trasformazione del moto del cilindro da puro scivolamento a puro rotolamento.
L ho svolto col metodo cinematico e quello energetico trovando due risultati diversi.
L istante di tempo in cui il moto diventa di puro rotolamenti è $t=0,5$ da cui ottengo $Vcm=4 (m)/s$ e $Scm=2,5m$ il lavoro della forza di attrito mi esce quindi $L=-19,6J$.
Usando il metodo energetico invece mi esce:
$3/4 M (Vcm)^2 - 1/2M (V0)^2=-12J$
I metodi non.dovevano dare lo stesso risultato?

[navigatore]

Il metodo corretto per valutare la variazione di energia cinetica è quello energetico.

È vero che tale variazione è uguale al lavoro della forza di attrito. Ma io mi sono dato questa spiegazione : per calcolare tale lavoro, non puoi semplicemente moltiplicare la forza per lo spostamento totale. Il punto di contatto, a cui è applicata la forza di attrito, non si muove con la velocità relativa del centro di massa. LA velocità relativa del punto di contatto si riduce gradualmente, da $v_0$ nell'istante iniziale a $0$ in quello finale.
E siccome $dx = vdt$ , il lavoro elementare vale $dL = F*dx = F*v(t)*dt$ , quindi bisognerebbe integrare dall'istante iniziale all'istante in cui il moto diventa di puro rotolamento.
Non credo sia facile, e non sono neanche tanto sicuro che questo sia giusto.

[lor_fra]

Grazie 1000 per la risposta....sicuramente il metodo energetico é quello esatto,l unica risposta che sono riuscito a darmi riguardo all inesattezza del metodo cinematico é che durante lo slittamento sul piano ruvido si alternano moti di puro rotolamento in cui non si compie lavoro e moti di puro slittamento....ma questa risposta non mi convince tanto perché dalle formule il puro rotolamento si ha solo in un determinato istante di tempo

[navigatore]

Però facendo il calcolo nel modo che ti ho suggerito il risultato torna.

Riporto il calcolo nel caso della sfera di Big Raf, in cui , detta $v_0$ la velocità iniziale, la velocità finale in cui inizia il rotolamento puro vale : $v_f = 5/7v_0$ , il tempo corrispondente vale : $ t' = 2/7v_0/(mug)$ , e durante lo strisciamento sussistono le relazioni :

$v(t) = v_0 -mu"g"t$
$x=v_0t - 1/2\mu"g"t^2$

quindi calcolo il lavoro della forza di attrito così =

$L = \int_0^(t') \mumgv(t)dt = mumg \int_0^(t')(v_0 - mu"g"t)dt = ……= mumg[v_0t' - 1/2\mu"g"t'^2] =……= mv_0^2 (2/7 - 2/49) = (12)/(49)mv_0^2 $

che corrisponde al risultato calcolato col metodo energetico. Se ho fatto bene , non era neanche tanto difficile.

PRova a farlo anche tu per il cilindro . Cambia solo il momento di inerzia.