Per i maturandi nuovi e...vecchi

[ciromario]

Sia $f:[a,b]->R$ funzione due volte derivabile, con $f'(x)$ ed $f''(x)$ continue in $[a,b]$
Posto :
$m=min_{x\in [a,b]}f''(x),M=max_{x \in [a,b]}f''(x)$
dimostrare che è :
\(\displaystyle \frac{m(b^2-a^2)}{2}\le bf'(b)-af'(a)-f(b)+f(a)\le\frac{M(b^2-a^2)}{2} \)

[kobeilprofeta]

Considero $f'(x)$ su $[a,b]$, per Lagrange si ha che esiste $x_0 in ]a,b[ : f'(x_0)=(f(b)-f(a))/(b-a)$. Ora io so per definizione che $m<=f'(x_0)<=M$ quindi $m<=(f'(b)-f'(a))/(b-a)<=M$. Moltiplico per $(b-a)$. $m*(b-a)<=f'(b)-f'(a)<=M*(b-a)$. Moltiplo per $(b+a)/2$. $(m*(b^2-a^2))/2<=(b*f'(b)-a*f'(a)+a*f'(b)-b*f'(a))/2<=(M*(b^2-a^2))/2$
E qua sinceramente mi perdo. Ci penseró meglio

[Rigel]

Sia $f:[a,b]->R$ funzione due volte derivabile, con $f'(x)$ ed $f''(x)$ continue in $[a,b]$
Posto :
$m=min_{x\in [a,b]}f''(x),M=max_{x \in [a,b]}f''(x)$
dimostrare che è :
\(\displaystyle \frac{m(b^2-a^2)}{2}\le bf'(b)-af'(a)-f(b)+f(a)\le\frac{M(b^2-a^2)}{2} \)

C'è qualcosa che non mi torna: ad esempio, la funzione \(f(x) = x^3\), \(x\in [-1,1]\), non mi sembra soddisfi queste disuguaglianze.

[j18eos]

@kobeilprofeta Hai sbagliato a usare \(\displaystyle m\) ed \(\displaystyle M\)!

@Rigel A me sembra tutt'ok, almeno col tuo esempio!

[kobeilprofeta]

Perchè?

[giammaria]

Concordo con Rigel: primo e terzo membro sono entrambi zero, ma, essendo $f(x)=x^3;" "f'(x)=3x^2$ si ha
$a=-1;" "f(a)=-1;" "f'(a)=3$
$b=1;" "f(b)=1;" "f'(b)=3$

e quindi

$ bf'(b)-af'(a)-f(b)+f(a)=1*3-(-1)*3-1+(-1)=4$

[j18eos]

@Rigel e giammaria Mi ha fregato un segno meno.

@kobeilprofeta \(\displaystyle M\) ed \(\displaystyle m\) sono, rispettivamente, il massimo e il minimo assoluto di \(\displaystyle f^{\prime\prime}\) e non di \(\displaystyle f^{\prime}\) in \(\displaystyle[a,b]\)!

[kobeilprofeta]

@Rigel e giammaria Mi ha fregato un segno meno.

@kobeilprofeta \(\displaystyle M\) ed \(\displaystyle m\) sono, rispettivamente, il massimo e il minimo assoluto di \(\displaystyle f^{\prime\prime}\) e non di \(\displaystyle f^{\prime}\) in \(\displaystyle[a,b]\)!

Capito.