Coniugato di funzioni complesse (non esprimibili in forma rettangolare)

[camaiore_is_there]

Salve a tutti,
io so che una funzione complessa si può scrivere in forma rettangolare: H(f) = X(f) + jY(f). Segue che il coniugato è H*(f) = X(f) - jY(f). A volte però non è possibile scrivere la funzione in maniera rettangolare e di conseguenza fare il coniugato non mi è chiaro. Ad es: G(f) = jf/(1+jf). La precedente funzione ha come coniugato G*(f) = -jf/(1-jf). Posso allora dire che per fare il coniugato basta moltiplicare ogni unità immaginaria per -1 ?

Grazie, buona notte!

[gugo82]

io so che una funzione complessa si può scrivere in forma rettangolare: H(f) = X(f) + jY(f). Segue che il coniugato è H*(f) = X(f) - jY(f).

Giusto.

A volte però non è possibile scrivere la funzione in maniera rettangolare e di conseguenza fare il coniugato non mi è chiaro. Ad es: G(f) = jf/(1+jf).

E perché no dovresti saperla scrivere in forma algebrica??? :
Basta razionalizzare:
\[
\begin{split}
G(f) &= \frac{\jmath\ f}{1+\jmath\ f}\\
&= \frac{\jmath\ f}{1+\jmath\ f}\ \frac{1-\jmath\ f}{1-\jmath\ f}\\
&= \frac{f^2 + \jmath\ f}{1+f^2}\\
&= \frac{f^2}{1+f^2} + \jmath\ \frac{f}{1+f^2}\; \ldots
\end{split}
\]

La precedente funzione ha come coniugato G*(f) = -jf/(1-jf). Posso allora dire che per fare il coniugato basta moltiplicare ogni unità immaginaria per -1 ?

... In modo che:
\[
\begin{split}
G^*(f) &= \frac{f^2}{1+f^2} - \jmath\ \frac{f}{1+f^2}\\
&= \frac{f^2 - \jmath\ f}{1+f^2}\\
&= \frac{-\jmath\ f}{1-\jmath\ f}\ \frac{1+\jmath\ f}{1+\jmath\ f}\\
&= -\frac{\jmath\ f}{1-\jmath\ f}\; .
\end{split}
\]

In generale, però, vale il seguente fatto.
Se:
\[
\Phi (z,\zeta) = \frac{z}{\zeta}
\]
allora:
\[
\Phi^* (z,\zeta) = \frac{z^*}{\zeta^*}\; ,
\]
per le proprietà del coniugio. Se ti interessa vederla separando parti reali ed immaginarie, hai:
\[
\Phi (a+\jmath\ b, c+\jmath\ d) := \frac{a+\jmath\ b}{c+\jmath\ d}
\]
razionalizzando si ottiene la forma algebrica di \(\Phi\):
\[
\begin{split}
\Phi (a+\jmath\ b;c+\jmath\ d) &:= \frac{a+\jmath\ b}{c+\jmath\ d}\ \frac{c-\jmath\ d}{c - \jmath\ d} \\
&= \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \jmath\ \frac{bc-ad}{c^2+d^2}
\end{split}
\]
da cui segue:
\[
\Phi^* (a+\jmath\ b;c+\jmath\ d) := \frac{ac+bd}{c^2+d^2} - \jmath\ \frac{bc-ad}{c^2+d^2}
\]
da cui, razionalizzando al contrario:
\[
\begin{split}
\Phi^* (a+\jmath\ b;c+\jmath\ d) &= \frac{ac+bd}{c^2+d^2} - \jmath\ \frac{bc-ad}{c^2+d^2}\\
&= \frac{a-\jmath\ b}{c-\jmath\ d}\ \frac{c+\jmath\ d}{c+\jmath\ d} \\
&= \frac{a-\jmath\ b}{c-\jmath\ d}
\end{split}
\]
come detto sopra.