Equazione differenziale con Bernoulli

[Leonard89]

Ciao a tutti, oggi sto cercando di risolvere questo Problema di Cauchy:

\(\displaystyle \left\{-\frac{e^{-x}}{x^2 (y x)^2}+x y'+\frac{x y}{x}=0, y(1)=1\right\} \)

ho provato con il metodo semplice, ovvero:

\(\displaystyle y'=\frac{e^{-x}}{x^2 y^2}-\frac{y}{x} \)

\(\displaystyle \int y' \, dy=\int \frac{e^{-x}}{x^2 y^2} \, dy-\int \frac{y}{x} \, dy \)

\(\displaystyle y=-\frac{e^{-x}}{x^2 y}-\frac{x y^2}{2} \)

risolvendo poi il p.d.C. l'integrale generale viene

\(\displaystyle \frac{e^{-x}+x^2}{x^2 y}-\frac{3 e+2}{2 e}+\frac{y^2}{2 x} \)

il risultato è corretto? ho passato l'edo a wolfram e lui la risolve con Bernoulli. Qualcuno mi può dire come si risolve?

Grazie mille

[stormy]

negli integrali a destra dovrebbe esserci $dx$ e in quello a sinistra solo $dy$
però,a questo punto,non è che puoi trattare la $y$ come costante

sì,io direi di metterla nella forma
$y'+y/x=e^(-x)/x^5y^(-2)$
e risolverla con Bernoulli

[Leonard89]

grazie mille stormy, proverò

[Leonard89]

ho provato e riprovato, ho seguito alla lettera anche le soluzioni proposte dal calcolatore ma mi perdo in alcuni passaggi dove si effettuano varie sostituzioni.

Riesco ad arrivare "indenne" fino all'equazione ordinaria lineare omogenea e poi li mi blocco. Una volta trovato il suo integrale generale cosa faccio?

Scusate ma è la prima volta che affronto un p.d.C. con Bernoulli. Grazie

[Leonard89]

negli integrali a destra dovrebbe esserci $dx$ e in quello a sinistra solo $dy$
però,a questo punto,non è che puoi trattare la $y$ come costante

potresti spiegarmi meglio?

[stormy]

supponendo che il testo giusto sia il seguente
$y'+y/x=e^(-x)/x^2y^(-2)$
e non quello che c'era tra le parentesi graffe,moltiplichiamo tutto per $y^2$
$y^2y'+y^3/x=e^(-x)/x^2$
posto $z=y^3$,si ha $z'=3y^2y'$
ti riconduci alla risoluzione dell'equazione differenziale
$z'+3z/x=3e^(-x)/x^2$

[Leonard89]

ah ok grazie mille ora è chiaro