Determinazione iperbole equilatera

[sandri]

Salve a tutti!
Questo è il quesito:
Considerata la circonferenza C:x^2+y^2-2x+y-2=0 determinare l'iperbole equilatera ad essa tangente nel punto P(2,1), tangente inoltre alla retta r:2x-y+5=0 nel suo punto improprio e passante per Q(1,-2)

Svolgimento:
Io ho inizialmente calcolato la retta tangente l'iperbole nel punto P utilizzando le derivate parziali di C ed ho ottenuto la retta t:2x+3y-7=0
Ho trovato il punto improprio di r, R(1,2,0)
A questo punto ho pensato di fare il fascio di coniche costituito dalla coppia di rette t ed r e dalla retta per P e R con molteplicità 2.
Ho poi imposto il passaggio per Q e trovato l'equazione.

Il punto è che l'equazione è sbagliata! In questo caso fatico ad immaginarmi l'iperbole e le varie rette e punti da considerare...
Chi mi illumina?

grazie mille sin da ora

[ciromario]

L'equazione del fascio di coniche che hanno per tangente nel punto $P(2,1,1)$ la retta di equazione $2x+3y-7=0$ e per tangente nel punto $R(1,2,0)$ la retta di equazione $2x-y+5=0$ è :
$lambda(2x+3y-7)(2x-y+5)+mu(2x-y-3)^2=0$
A questo punto o s'impone l'ulteriore condizione del passaggio per il punto Q o s'impone la condizione che la conica cercata sia un'iperbole equilatera ($a_{11}+a_{22}=0$) ma non si possono imporre in contemporanea... A meno che non si tratti di due quesiti diversi ed indipendenti.

[sandri]

L'equazione del fascio di coniche che hanno per tangente nel punto $P(2,1,1)$ la retta di equazione $2x+3y-7=0$ e per tangente nel punto $R(1,2,0)$ la retta di equazione $2x-y+5=0$ è :
$lambda(2x+3y-7)(2x-y+5)+mu(2x-y-3)^2=0$
A questo punto o s'impone l'ulteriore condizione del passaggio per il punto Q o s'impone la condizione che la conica cercata sia un'iperbole equilatera ($a_{11}+a_{22}=0$) ma non si possono imporre in contemporanea... A meno che non si tratti di due quesiti diversi ed indipendenti.

Grazie mille!
Il quesito era di un esame e il Professore l'ha risolto in modo completamente differente, con numeri che non riesco a capire da dove l'abbia tirati fuori..
In ogni caso anche lei ha utilizzato lo stesso mio procedimento, l'unico mio dubbio è una volta trovata l'equazione, se vado a fare la verifica, non risulta un iperbole equilatera! Boh...