Sono nello spazio $L^2(I)$ in cui sono definiti il seguente prodotto scalare:
$<f,g> = int_I f(x) g(x) dx$
e la seguente norma indotta:
$||f||= (int_I f(x)^2 dx)^(1/2)$
Allora mi ritrovo con il seguente testo:
Sia ${ \phi_n}$ per n=1,2,... un sistema ortonormale. Fissiamo una funzione $f$. Per ogni assegnato $k > 0$ naturale, vogliamo trovare la migliore approssimazione di $f$ con combinazioni lineari di $φ_1 , . . . , φ_k$ . In altre parole, vogliamo minimizzare la funzione seguente:
$ \Psi (c_1, c_2, ..., c_k)= ||f - \sum_{n=1}^k c_n \phi_n ||^2 = int_I |f(x) - \sum_{n=1}^k c_n \phi_n(x)|^2 dx$
Un calcolo esplicito dà:
$ \Psi (c_1, c_2, ..., c_k)= ||f||^2 - 2 \sum_{n=1}^k c_n <f, φ_n> + \sum_{n=1}^k c_n ^2$
Il minimo di $\Psi$ si ottiene per $c_n= <f, \phi_n>$
Le mie domande sono:
1) Come faccio ad ottenere questa?
$ \Psi (c_1, c_2, ..., c_k)= ||f||^2 - 2 \sum_{n=1}^k c_n <f, φ_n> + \sum_{n=1}^k c_n ^2$
2) Il termine $c_n= <f, \phi_n>$ sarebbe la proiezione ortogonale di $f$ sullo spazio generato dal sistema ortonormale ${ \phi_n}$?
Non riesco a venirne a capo.
