F : $ z^5-y(z^4-xy)^2 $
G : $ z^4+xz^3-x^2y^2 $
devo determinare i punti comomuni a esse col metodo del risultante dei polinomi calcolato rispetto a x
Ho fatto così. Dopo aver omogeneuzzato i polinomi rispetto a x ho calcolato questo determinante.
$ R(y,z)= | ( z^5-yz^4 , 2y^2z^2 , -y^3 , 0 ),( 0 , z^5-yz^4 , 2y^2z^2 , -y^3 ),( z^4 , z^3 , -y^2 , 0 ),( 0 , z^4 , z^3 , -y^2 ) | =0 $
che viene così (è giusto perchè ho le soluzioni dell'esercizio)
$ -y^3z^9(2y-z)^2=0 $
che ha come soluzioni
y=0, z=0 ,z=2y
Ora essendo le due curve di grado 5 e 4 .. hanno 20 = 5x4 punti in comune ????
Come faccio a determinarli? devo sostituire quei valori sia in F che in G e prendere le soluzioni comuni?
Potete aiutarmi per favore?
PS purtroppo nelle soluzioni c'è solo un punto $ [4(1+- \sqrt2),1,2] $ di molteplicità 2
