Questa risposta arriva da una discussione su
http://math.stackexchange.com e mi sembra buona, quindi vorrei condividerla anche per verificare se c'è qualcosa che non va:
Preso $a \in \mathbb{Q}$, costruiamo la sequenza:
\[
\begin {split}
\mathbb{E}_{a,0} &= \mathbb{Q} \subset \mathbb{C}\\
B_{a,1} &= \{a^r | r \in \mathbb{E}_{a,0}\}\\
\mathbb{E}_{a,1} &= \mathbb{E}_{a,0}(B_{a,1}) \\
B_{a,2} &= \{a^r | r \in \mathbb{E}_{a,1}\}\\
\mathbb{E}_{a,1} &= \mathbb{E}_{a,1}(B_{a,2}) \\
\cdots\\
B_{a,n} &= \{a^r | r \in \mathbb{E}_{a,n-1}\}\\
\mathbb{E}_{a,n} &= \mathbb{E}_{a,n-1}(B_{a,n}) \\
\cdots
\end{split}
\]
dove:
\[
\mathbb{E}_{a,n}=\mathbb{E}_{a,n-1}(B_{a,n})=\langle \mathbb{E}_{a,n-1} \cup B_{a,n}\rangle \subset \mathbb{C}
\]
è la
chiusura di $\mathbb{E}_{a,n-1}\cup B_{a,n}$ in $\mathbb{C}$, cioè l’insieme di tutti gli elementi di $\mathbb{C}$ ottenuti a partire da $\mathbb{E}_{a,n-1}\cup B_{a,n}$ con una successione finita di operazioni del campo (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni), quindi se $\mathbb{E}_{a,n-1} $ è numerabile lo sono anche $B_{a,n} $ e $\mathbb{E}_{a,n} $ e siccome $\mathbb{E}_{a,0} $ è numerbile, tutti gli $\mathbb{E}_{a,n} $ sono insiemi numerabili.
Poniamo ora:
\[
\mathbb{E}_a=\bigcup_{n=0}^{\infty}\mathbb{E}_{a,n}
\]
anche $\mathbb{E}_a$ è numerabile ed è quindi un sottocampo proprio di $\mathbb{C}$ (di $\mathbb{R}$ se $a>0$) in cui è ben definita la funzione esponenziale $a^x:\mathbb{E}_a\rightarrow \mathbb{E}_a$.
Se poi poniamo:
\[
\mathbb{E}=\bigcup_{a \in\mathbb{Q}} \mathbb{E}_a \varsubsetneq \mathbb{C} \qquad \mbox{ and } \qquad
\mathbb{E}^+=\bigcup_{a \in\mathbb{Q}^+}\mathbb{E}_a \varsubsetneq \mathbb{R}
\]
abbiamo due campi esponenziali (numerabili) in cui sono ben definite le funzioni esponenziali con base razionale (solo positiva per $\mathbb{E}^+$).
Quello che non mi convince è che da altre parti non ho trovato nessuna citazione di campi esponenziali numerabili.
Ad esempio, in
http://arxiv.org/pdf/1101.4224v1.pdf si citano solo $\mathbb{R}$,$\mathbb{C}$, le serie L-E, i numeri surreali e i campi di Zilbert.