Sfacciatamente ...facile!

[ciromario]

Sia AB una corda di una circonferenza e P il punto sul segmento AB tale che
$AP = 2\cdot PB$. Sia DE la corda per P e perpendicolare ad AB. Dimostrare che
il punto medio Q di AP è l'ortocentro di ADE.

[stormy]

sì,in effetti il problema è abbastanza semplice
il triangolo $EQB$ è isoscele in quanto $EP$ è altezza e mediana
ne segue che l'angolo $Ehat(Q)B$ è congruente all'angolo $Ehat(B)Q$
l'angolo $Dhat(E)B$ è congruente all'angolo $ Dhat(A)B $ che insiste sullo stesso arco $DB$
detto $M$ il punto di intersezione della retta $EQ$ con il segmento $AD$, si ha che $ Ahat(Q)M$(opposto al vertice di $Ehat(Q)B$) e $ Mhat(A)Q $ sono complementari e quindi $Ahat(M)Q=90°$,da cui la tesi

[giammaria]

Aggiungo un'altra dimostrazione, anch'essa facile.
Posto $PB=a$ ho per ipotesi $AP=2a$ e per il teorema delle due corde $DP*PE=AP*PB=2a^2$.
Noto che $AP$ è un'altezza di $ADE$, quindi l'ortocentro $S$ è la sua intersezione con l'altezza $ER$.
Due triangoli rettangoli con un angolo acuto in comune sono simili, quindi
$SPE~ERD~ADP$
e dalla similitudine fra il primo e l'ultimo ricavo
$SP:DP=PE:AP" "->" "SP=(DP*PE)/(AP)=(2a^2)/(2a)=a$
che dimostra che $S$ coincide con $Q$.