Definizione di limite finito per x che tende ad un valore finito

[rex89]

Salve nella definizione di limite finito per x che tende ad un valore finito, si dice di prendere un epsilon positivo grande a piacere. Questo epsilon corrisponde al raggio di centro f(x_0). Ma perchè si doveve cominciare a prendere un punto positivo grande a piacecre (escluso il punto x_0) sull' asse delle y. Non si poteva comiciare a prendere un punto grande a piacere sull' asse delle x?

[garnak.olegovitc]

rex89, è una definizione, e devi vederla come tale (per come la penso io); se vuoi sbizzarrirti un pochino puoi ricavare quella definizione da questa più generale

[dissonance]

Io proverei a ragionare su una funzione periodica, che so, la funzione $f(x)=\cos(x)$. Fissiamo \(x_0=0\). Anche prendendo un intornino piccolissimo di \(y_0=1\), esisteranno sempre punti sull'asse delle \(x\) che sono arbitrariamente lontani da \(x_0\) ma sono tali che il loro coseno cade nell'intornino piccolissimo di \(y_0\).

Perciò, fabbricando una definizione "al contrario", la funzione coseno non sarebbe continua. Questo mi pare che sia sufficiente a preferire la definizione solita.

P.S.: @garnak: Non sono d'accordo con la tua risposta. Le definizioni non sono dogmi, metterle in discussione è fondamentale per comprenderle a fondo.

[rex89]

Ciao dissonance, quindi scrivere così sarebbe sbagliato:

\(\displaystyle \forall \ \ \delta \ \ \exists \varepsilon_{(\delta)}>0 \ \ \mbox{tale che se} \left| f(x)-c \right| < \varepsilon \ \ \mbox{allora risulta che} \left| x-x_{0} \right| < \delta \)

[@melia]

Salve nella definizione di limite finito per x che tende ad un valore finito, si dice di prendere un epsilon positivo grande a piacere...

L'epsilon deve essere positivo piccolo a piacere, con epsilon grandi il limite potrebbe assumere valori diversi.

Ciao dissonance, quindi scrivere così sarebbe sbagliato:

\(\displaystyle \forall \ \ \delta \ \ \exists \varepsilon_{(\delta)}>0 \ \ \mbox{tale che se} \left| f(x)-c \right| < \varepsilon \ \ \mbox{allora risulta che} \left| x-x_{0} \right| < \delta \)

Sì, è sbagliato, prova a pensare alla funzione $f(x)={(x,if x<=2),(x+1,if x>2):}$, con la definizione che hai scritto tutti i valori compresi tra 2 e 3 risultano essere soluzione del limite, e non solo loro, basta prendere degli $epsilon$ abbastanza grandi.