Due stupide curiosità (forse)

[_luca94_]

Salve a tutti,
mi chiedevo come si possa dimostrare, ammesso che sia vero, che:
$AA n > 1: n^2 > p_n$, dove $p_n$ è l' ennesimo numero primo.

E poi: si può dimostrare che esiste almeno un primo tra $p_n$ e $(n+1)^2$?

[Pachisi]

Io proverei usando una conseguenza del Teorema dei numeri primi; precisamente che

\(\displaystyle p_n \sim n\cdot{ln(n)}\) dove \(\displaystyle p_n\) e` l'n-esimo numero primo.

Per \(\displaystyle n \rightarrow \infty\) l'errore tra \(\displaystyle p_n\) e \(\displaystyle n\cdot{ln(n)}\) tende verso zero, dunque per \(\displaystyle n\) sufficentemente "grande" facciamo la sostituzione \(\displaystyle p_n=n\cdot{ln(n)}\), e abbiamo

\(\displaystyle n^2>n\cdot{ln(n)}\),

il che e` vero.

Per la seconda parte, credo che possa essere utile usare un'altra conseguenza del teorema dei numeri primi, ossia che

\(\displaystyle p_{n+1}-p_n \sim ln(n)\),

pero` lo lascio a te.

[Zero87]

Per \(\displaystyle n \rightarrow \infty\) l'errore tra \(\displaystyle p_n\) e \(\displaystyle n\cdot{ln(n)}\) tende verso zero, dunque per \(\displaystyle n\) sufficentemente "grande" facciamo la sostituzione \(\displaystyle

E' pur sempre una stima e c'è da vedere l'errore massimo che si può commettere.

A caldo sulla tesi queste cose le sapevo... uffa

[Pachisi]

Hai ragione, solo che non saprei come calcolarlo l'errore massimo.

EDIT: Teorema di Rosser: \(\displaystyle p_n>n\cdot{ln(n)}\), dove \(\displaystyle p_n\) e` l'n-esimo primo.

[giammaria]

Sposto in Pensare un po' di più perché mi pare che i teoremi sui numeri primi non siano argomento di secondaria.

[_luca94_]

Grazie a tutti, gentilissimi