[Scienza delle Costruzioni] Momento d'inerzia sezione

[marcook]

Ciao a tutti, avrei bisogno di un piccolo aiuto sul calcolo dei momenti d'inerzia. O meglio non ricordo bene, quando mi trovo in una situazione come la seguente come fare con i segni.

Ad esempio, prendiamo la seguente figura:



per calcolarne il momento d'inerzia bisogna considerare i momenti d'inerzia secondo i baricentri locali di ogni rettangolo e trasporli agli assi desiderati. La sezione è da considerarsi sottile, e l'intento è quindi di calcolare il momento d'inerzia in direzione x rispetto all'asse x.
Prendiamo ad esempio il tratto AH:

$J_x= (J_(x_G))^(AH) +(Area)^(AH) (y_G)^2 = 1/12 at^3 + (at)(-a)^2 = 1/12at^3 + a^3 t$

Adesso il tratto HB:

$J_x= (J_(x_G))^(HB) +(Area)^(HB) (y_G)^2 = 1/12 a(2t)^3 + [(-a) (2t)](-a)^2 = 2/3at^3 - 2a^3 t$

La mia incertezza sta nel considerare i segni delle varie quantità rispetto agli assi di riferimento, cioè:
- il momento d'inerzia rispetto agli assi baricentrici locali dei vari rettangoli deve essere positivo (quindi altezza e base del rettangolo la considero positiva)
- l'area del termine di trasposizione deve essere orientata (quindi considero le quantità con il segno)
- anche la distanza del baricentro locale dei vari rettangoli all'asse la considero con segno (ma essendo elevata al quadrato è ininfluente)

E' corretto o sbaglio in qualcosa?

Grazie

[navigatore]

Avevi già fatto questa richiesta :

viewtopic.php?f=38&t=129858&hilit=momento+di+inerzia#p832613

che vuol dire questo? :

e l'intento è quindi di calcolare il momento d'inerzia in direzione x rispetto all'asse x

e questo ? :

La mia incertezza sta nel considerare i segni delle varie quantità rispetto agli assi di riferimento, cioè:
- il momento d'inerzia rispetto agli assi baricentrici locali dei vari rettangoli deve essere positivo (quindi altezza e base del rettangolo la considero positiva)
-l'area del termine di trasposizione deve essere orientata (quindi considero le quantità con il segno)
- anche la distanza del baricentro locale dei vari rettangoli all'asse la considero con segno (ma essendo elevata al quadrato è ininfluente)

Il momento di inerzia proprio (cioè baricentrico) è sempre positivo.

Anche il termine di trasporto è sempre positivo, non devi orientare alcuna area.

[marcook]

Si l'esercizio è quello, l'ho messo per comodità per far capire cosa intendo ma la domanda è ben diversa.

Quel "in direzione x" mi è scappato, non doveva esserci.
Comunque insistendo ho capito (spero) finalmente come fare questo genere di esercizio. Allora viene tutto positivo (momenti d'inerzia rispetto ai baricentri locali, aree e contributi di trasposizione) ma devo stare attento alle simmetrie rispetto all'asse al quale intendo calcolare il momento d'inerzia, e considerare i momenti baricentrici positivi o negativi a seconda del riferimento. Così più di un tipo di questi esercizi mi tornano tutti alla perfezione.

[navigatore]

Si l'esercizio è quello, l'ho messo per comodità per far capire cosa intendo ma la domanda è ben diversa.

Quel "in direzione x" mi è scappato, non doveva esserci.
Comunque insistendo ho capito (spero) finalmente come fare questo genere di esercizio. Allora viene tutto positivo (momenti d'inerzia rispetto ai baricentri locali, aree e contributi di trasposizione) ma devo stare attento alle simmetrie rispetto all'asse al quale intendo calcolare il momento d'inerzia, e considerare i momenti baricentrici positivi o negativi a seconda del riferimento. Così più di un tipo di questi esercizi mi tornano tutti alla perfezione.

No Marco! Che vuoi dire con la frase che ho evidenziato ? I momenti di inerzia baricentrici non sono positivi o negativi a seconda del riferimento! Io non vorrei che tu ti stia confondendo coi momenti statici: quelli sì, che hanno un segno!

E non vorrei che stessi facendo ancora un'altra confusione, questa : sai che il teorema di Huygens ti permette di passare dal momento d'inerzia rispetto a un asse baricentrico $I_G$ a quello rispetto ad un asse $r$ parallelo al precedente, distante $d$, con la formula : $I_r = I_G + A*d^2$ .

ORa, è banale che avendo $I_r $ per ottenere $I_G$ devi scrivere : $I_G = I_r - A*d^2$ .

cioè ora il termine di trasporto lo togli.

Chiarisciti bene le idee, su questi fatti!

[marcook]

Si l'esercizio è quello, l'ho messo per comodità per far capire cosa intendo ma la domanda è ben diversa.

Quel "in direzione x" mi è scappato, non doveva esserci.
Comunque insistendo ho capito (spero) finalmente come fare questo genere di esercizio. Allora viene tutto positivo (momenti d'inerzia rispetto ai baricentri locali, aree e contributi di trasposizione) ma devo stare attento alle simmetrie rispetto all'asse al quale intendo calcolare il momento d'inerzia, e considerare i momenti baricentrici positivi o negativi a seconda del riferimento. Così più di un tipo di questi esercizi mi tornano tutti alla perfezione.

No Marco! Che vuoi dire con la frase che ho evidenziato ? I momenti di inerzia baricentrici non sono positivi o negativi a seconda del riferimento! Io non vorrei che tu ti stia confondendo coi momenti statici: quelli sì, che hanno un segno!

E non vorrei che stessi facendo ancora un'altra confusione, questa : sai che il teorema di Huygens ti permette di passare dal momento d'inerzia rispetto a un asse baricentrico $I_G$ a quello rispetto ad un asse $r$ parallelo al precedente, distante $d$, con la formula : $I_r = I_G + A*d^2$ .

ORa, è banale che avendo $I_r $ per ottenere $I_G$ devi scrivere : $I_G = I_r - A*d^2$ .

cioè ora il termine di trasporto lo togli.

Chiarisciti bene le idee, su questi fatti!

No su questi fatti ho ben chiaro tutto ci mancherebbe, però se vado a fare un esercizio del genere e se considero tutto positivo non torna. Hai provato a calcolare $J_x$ di questa sezione? Bene, nelle soluzioni torna $8a^3t$

Ecco i conti:

AH: $J_x = 1/12 a t^3 + (at)(a)^2= 1/12at^3 + a^3t$
HB: $J_x = -1/12 a (2t)^3 + (a 2t)(a)^2= -2/3at^3 +2 a^3t$
DL: $J_x = 1/12 a (2t)^3 + (a 2t)(a)^2= 2/3at^3 +2 a^3t$
LC: $J_x = -1/12 a t^3 + (at)(a)^2= -1/12at^3 + a^3t$
DM: $J_x = 1/12 2t (a)^3 + (a 2t)(a/2)^2= 2/3a^3t$
AM: $J_x = 1/12 t (a)^3 + (a t)(a/2)^2=1/3 a^3t$
BK: $J_x = 1/12 2t (a)^3 + (a 2t)(a/2)^2= 2/3a^3t$
KC: $J_x = 1/12 t (a)^3 + (a t)(a/2)^2=1/3 a^3t$

Adesso sommiamoli per ottenere il momento d'inerzia dell'intera sezione:
$J_x= 1/12at^3 + a^3t + -2/3at^3 +2 a^3t + 2/3at^3 +2 a^3t -1/12at^3 + a^3t + 2/3a^3t + 1/3 a^3t + 2/3a^3t + 1/3 a^3t = 8a^3t$

Sono consapevole che il momento d'inerzia non può essere negativo, però esaminando i miei calcoli trovi degli errori? Anche altri esercizi dello stesso genere, per farli venire devo fare considerazioni del genere.

[navigatore]

Marco, non ho esaminato i tuoi conti, e non lo farò. Però ti dico che se metti dei segni negativi ai momenti di inerzia sbagli.
Probabilmente i conti tornano perché aggiungi e togli quantità che hanno stesso valore assoluto, quindi sono ridondanti.
Bisognerebbe verificare passo passo i tuoi passaggi, ma prima quelli mentali e poi quelli algebrici, per scovare l'errore.

Se sei conscio che qualunque $I$ è positivo, domanda a te stesso : ma dove sto sbagliando?

[marcook]

Però in questo modo non mi aiuti...il senso di questo post è di aiutarmi a capire (dato che sono cosciente della positività di mom d'inerzia e degli altri contributi) questa"incongruenza" che vedo tra come ho sempre calcolato i momenti d'inerziae la soluzione dell'esercizio. I conti che ho postato sono facili e veloci da controllare e potrebbero risolvere ogni mio dubbio mettendo alla luce eventuali problemi...

[marcook]

Credo di aver scoperto il perché...l'inghippo sta nell'ipotesi di sezione sottile;tale assunzione ha delle conseguenze teoriche che a me non sono state spiegate....le approfondiró e poi riparleremo dell'esercizio, per adesso grazie per avermi fatto ragionare

[marcook]

Ecco il perché e come vanno via quei termini:sostanzialmente essendo la sezione sottile, le quantità t e 2t(gli spessori dei vari tratti) sono appunto sottili e quindi è ovvio che facendo un'approssimazione nel calcolo dei vari momenti d'inerzia, il termine $a^3t$ conta molto di più di $at^3$ per cui può essere trascurato.Niente segni negativi messi così senza senso quindi, ora è tutto in ordine e conforme

[navigatore]

Sei sicuro di quello che dici ? E se gli spessori non fossero sottili, ci sarebbero dunque dei segni negativi?

Io voglio che tu capisca, certamente. MA Nella maniera giusta. Non c'entra il fatto che lo spessore $t$ è piccolo rispetto ad $a$; ciò è vero, ma questo non vuol dire che debbano comparire dei termini negativi che poi vanno via perché il termine corrispondente è trascurabile. Sicuramente il termine dove lo spessore sottile è al cubo è trascurabile rispetto all'altro, ma non giustifica la presenza di quei segni $"-"$ nel calcolo.
Io non so come fartelo capire, ma i segni negativi non ci vanno proprio, non perché lo spessore sia sottile!

Eppure qui avevi detto che ti era riuscito, il calcolo!

viewtopic.php?f=38&t=129858&hilit=momento+di+inerzia#p833347