Discutere l'appartenenza di una funzione a uno spazio $L^p$

[Marie-Sophie]

Salve ragazzi, ho un problema con questo esercizio:
Data la funzione $f(x)=\sum_{k=0}^\{+infty} \2^{-k} chi_{[3^k,3^{k+2}]}(x)$,provare che essa appartiene a $L^p(1,+\infty)$ solo per $p>log_{2}3$.

In breve, si tratta di studiare la sommabilità di $|f(x)|^p$. Quel che mi blocca è che $f(x)$ si presenta come serie, e dunque non posso calcolare esplicitamente $|f(x)|^p$. Cercando altri modi di procedere, ho provato a vedere come è fatta la funzione $f$, analizzando i primi termini della serie. Sia
$f_k(x)=2^{-k} chi_{[3^k,3^{k+2}]}(x)$,
tale funzione appartiene a $L^p(1,+\infty)$ qualunque sia k (si tratta di una funzione costante definita su di un intervallo compatto). I supporti di $f_k$ e $f_j$ sono disgiunti se $j\ne k$ e $j\ne k+1$ pertanto, per ogni x, $f(x)$ si ottiene come somma di al più due addendi. Sui compatti dunque non vi dovrebbero essere problemi di sommabilità per $|f|^p$, resta da controllare il comportamento della funzione all'infinito. Ho pensato di imporre che l'area sottesa da ciascuna delle $|f_k|^p$ tenda a zero per $k$ che tende all'infinito, quindi

$\lim_{k \to \infty} 2^{-kp}(3^{k+2}-3^k)=0$.
Equivalentemente, si ha
$\lim_{k \to \infty} {\frac{3}{2^p}}^{k}(3^{2}-1)=0$.
Tale relazione vale per ${\frac{3}{2^p}}<1$,ovvero per $p>log_{2} 3$.
E' rigoroso questo modo di procedere? Imporre che l'area sottesa da ciascuna delle $|f_k|^p$ tenda a zero per $k$ che tende all'infinito, è una condizione sufficiente a garantire la sommabilità di $|f|^p$? Grazie mille!!

[Paolo90]

Ciao!

Ti propongo un'idea basata su questa tua considerazione:

I supporti di $ f_k $ e $ f_j $ sono disgiunti se $ j\ne k $ e $ j\ne k+1 $ pertanto, per ogni x, $ f(x) $ si ottiene come somma di al più due addendi.

In effetti, se non ho sbagliato i conti, la tua $f$ si può scrivere come
\[
f(x)= 2^{-\lfloor \log_3x \rfloor} + 2^{-\lfloor \log_3x \rfloor - 1} = 3 \cdot 2^{\lfloor \log_3 x \rfloor}
\]
dove \(\lfloor \cdot \rfloor\) denota la parte intera.

A questo punto, userei qualche disuguaglianza standard per la parte intera, maggiorando $f(x)$ con la funzione $3 \cdot x^{-log_3 2}$: è facile vedere che questa sta in $L^p(1,+\infty)$ per $p > \log_2 3$. D'altra parte non dovrebbe essere difficile mostrare che per $p = log_2 3$ la funzione $f \notin L^p$ e questo basta a concludere (perché?).

Spero di esserti stato utile. Ciao!

[Marie-Sophie]

Grazie Paolo, la tua idea mi piace ! C'è però qualcosa che non mi torna. In primo luogo, devo fare una correzione. Avevo commesso un errore di battitura, le funzioni caratteristiche che compaiono sono relative agli intervalli [3^k,3^{k+2}) (dunque non agli intervalli chiusi [3^k,3^{k+2}]), per questo scrivevo:
"I supporti di $ f_k $ e $ f_j $ sono disgiunti se $ j\ne k $ e $ j\ne k+1 $ pertanto, per ogni x, $ f(x) $ si ottiene come somma di al più due addendi."
Questo appunto è per amor di precisione, perché non comporta alcuna modifica del tuo ragionamento (ti eri fidato della mia osservazione XD).

Non mi trovo con la rappresentazione della funzione, aiutandomi anche graficamente, ho ottenuto
\[ f(x)= 2^{-\lfloor \log_3x \rfloor} + 2^{-\lfloor \log_3x \rfloor + 1} = 3 \cdot 2^{-\lfloor \log_3 x \rfloor} \]
dove \( \lfloor \cdot \rfloor \) denota la parte intera.

Un'altra cosa poi non mi è chiara, in che modo maggioravi $ f(x) $ con la funzione $ 3 \cdot x^{-log_3 2} $ ?

Il resto è chiaro. Infatti , provando che per $ p = log_2 3 $ la funzione $ f \notin L^p $, ho che per ogni $r<p$ $ f \notin L^r $, in quanto sussiste la seguente relazione:

$r<p<s \implies L^r\cap L^s\subset L^p$.

[Paolo90]

Grazie Paolo, la tua idea mi piace ! C'è però qualcosa che non mi torna. In primo luogo, devo fare una correzione. Avevo commesso un errore di battitura, le funzioni caratteristiche che compaiono sono relative agli intervalli [3^k,3^{k+2}) (dunque non agli intervalli chiusi [3^k,3^{k+2}]), per questo scrivevo:
"I supporti di $ f_k $ e $ f_j $ sono disgiunti se $ j\ne k $ e $ j\ne k+1 $ pertanto, per ogni x, $ f(x) $ si ottiene come somma di al più due addendi."
Questo appunto è per amor di precisione, perché non comporta alcuna modifica del tuo ragionamento (ti eri fidato della mia osservazione XD).

Grazie a te, sono contento che l'idea ti piaccia!

A voler essere proprio pignoli la frase è ancora imprecisa, perché il supporto è la chiusura dei punti che non sono zeri della funzione e quindi, in questo caso, è l'intervallo chiuso. Comunque ci siamo intesi, l'importante è questo.

Non mi trovo con la rappresentazione della funzione, aiutandomi anche graficamente, ho ottenuto
\[ f(x)= 2^{-\lfloor \log_3x \rfloor} + 2^{-\lfloor \log_3x \rfloor + 1} = 3 \cdot 2^{-\lfloor \log_3 x \rfloor} \]
dove \( \lfloor \cdot \rfloor \) denota la parte intera.
Un'altra cosa poi non mi è chiara, in che modo maggioravi $ f(x) $ con la funzione $ 3 \cdot x^{-log_3 2} $ ?

Sì, temo di aver dimenticato un meno all'esponente... Per quanto riguarda la maggiorazione, prova a usare le relazioni \( a-1 < \lfloor a \rfloor \le a\) valide per ogni $a$; ricorda, infine, che \( a^{\log_b c } = c^{\log_b a}\).

Il resto è chiaro. Infatti , provando che per $ p = log_2 3 $ la funzione $ f \notin L^p $, ho che per ogni $r<p$ $ f \notin L^r $, in quanto sussiste la seguente relazione: $r<p<s \implies L^r\cap L^s\subset L^p$.

Sì, esatto; in altri termini, il luogo dei $p$ tali che una funzione $f \in L^p$ costituisce sempre un sottoinsieme connesso di $\RR$.

[Marie-Sophie]

Hai ragione, chiedo venia! Ora è tutto chiaro, grazie

[Paolo90]

Prego, figurati. E, comunque, benvenuta tra noi.