serie a termini variabili

[alessandrof10]

ragazzi ho una serie dove non so dove mettere mani in quanto sto cercando di capire come agire.

$\sum_{k=1}^infty (1+sin(kpi/2))/k$

allora per prima cosa ho provato la condizione necessaria per cui il limite va a zero per k che tende a infinito
secondo cosa visto che non posso utilizzare il confronto asintotico in quanto l argomento del coseno per k che tende a infinito esso non va a zero ma appunto a infinito. poi analizzando il sin esso è compreso tra due valori cioè $+1 e -1$ quindi ovviamente dovro' considerare il modulo di ciò ma non saprei come continuare help me.. grazie anticipatamente poi se potete dirmi come comportarmi con questi tipi di serie e quale strada proseguire in linea generale

[alessandrof10]

non so se va bene tutto iter matematico ditemi voi se ho sbagliato allora essendo

$-1<sink<1$ allora $ -1<sin(kpi/2)<+1 $ ma per la mia serie diventa $ 0<(1+sin(kpi/2))/k<2/k$
quindi per il criterio della convergenza assoluta considero il modulo essendo maggiore della mia serie
$2/k$ ma questa e la serie armonica so che diverge di conseguenza diverge anche la mia serie giusto ???'

[stormy]

il ragionamento che hai fatto non va bene perchè con una maggiorante divergente non si va da nessuna parte
piuttosto,è facile vedere che la serie data è a termini non negativi e fra i suoi addendi contiene tutti i termini del tipo $1/2,1/4,1/6,...$ e quindi è una maggiorante della serie di termine generale $1/(2k)$

[alessandrof10]

cioè tu dici che la mia serie e composta anche dalla serie armonica cioe $1/k+(sin(pik/2))/k$ quindi sicuramente è un maggiorante della serie armonica $1/k<1/k+(sin(pik/2))/k$ di conseguenza se la serie armonica diverge per il confronto diverge anche la mia serie giusto ??

[stormy]

no, io ho detto che la serie data è maggiorante della serie di termine generale $1/(2k)$(che è divergente)

[alessandrof10]

sisi il senso era quello ho sbagliato a scrivere per essere piu formale dovrei scrivere $\sum_{k=1}^infty1/k<\sum_{k=1}^infty(1/k+(sin(pik/2))/k)$ in quanto la somma della serie armonica è $1/(2k)$ ed è minore della mia serie per questo la mia serie diverge

[stormy]

la disuguaglianza che hai scritto non l'abbiamo dimostrata