Esercizio sulle forze gravitazionali.

[ignorante]

Ciao ragazzi potete controllare se questo problema che ho risolto non l' ho svolto male?

Una satellite di massa $m=2000 kg$ si trova in orbita circolare ad una distanza di $1*10^5 km$ dal centro della terra (massa terra $6,0*10^24 kg$). Attraverso alcune manovre, il satellite viene portato ad una distanza di $(1,5 * 10^5 km)$, mantenendosi in un'orbita circolare.
1. Calcolare il lavoro compiuto dalla forza di attrazione gravitazionale a seguito di questa operazione.
2. Calcolare la variazione di energia cinetica del satellite associata al cambiamento di orbita.

Ecco la mia soluzione:

Le forze alle due distanze sono:
$F1 = GMm/d^2 $
$F2 = GMm/D^2 $

Il lavoro L dovuta alla forza gravitazionale:
$L = (F1 - F2)(D - d) = (GMm/d^2 - GMm/D^2)(D - d) $
$-∆U = L = GMm(D^2 - d^2)(D - d) / (d^2D^2) $
$-∆U = GMm(D + d)(D - d)^2 / (d^2D^2) $

La forza centripeta è:
$Fc = mV1^2/d$
La uguaglio alla forza F1:
$F1 = mV1^2/d = GMm/d^2 $
trovo:
$V1 = √(GM/d) $
allo stesso modo V2 risulterebbe:
$V2 = √(GM/D) $
L' energia cinetica è espressa dalla formula: E = mV^2/2
quindi:
$∆K = m(V2^2 - V1^2)/2 = m[GM/D - GM/d]/2 = GMm(1/D - 1/d)/2 $
$∆K = GMm(d - D) / (2Dd)$

A voi la sentenza!

[hamilton]

Il tuo calcolo del lavoro è pura fantasia

[Raam]

Salve.


Ho fatto un errore fondamentale quando ti ho risposto su Answers.

Le considerazioni dell'energia potenziali forse dovrebbero essere esatte:

U = −GMm/r

U₂ = −5.33E9
U₁ = −8E9

ΔU = 2.67E9 = −W

Supposto che questo sia corretto, dobbiamo calcolare la variazione dell'energia cinetica:
K = ¹/₂mv²

Il problema è: qual è la velocità?
La velocità è quella tale che riesce a mantenere il satellite in orbita e non lo fa cadere verso la terra.

Questa è l'accelerazione centripeta:
a = v²/r

Questa è la forza di gravità.
F = GMm/r² = ma
a = GM/r²

Quindi:

v²/r = GM/r²
v = √(GM/r)

ΔK = ¹/₂mv₁² − ¹/₂mv₂²


Non so se è giusto, ma magari può darti qualche spunto.

[stormy]

U = −GMm/r²

l'energia potenziale è $U= -(GMm)/r$

[Raam]

Hai ragione, ho corretto, ma i conti sembra li abbia fatti con -GMm/r
Mi chiedo se il resto sia giusto comunque.

[navigatore]

@ignorante

Il campo gravitazionale terrestre è a simmetria sferica; è un campo conservativo; la massa del satellite è piccola rispetto a quella della Terra.
Con queste ipotesi, si tratta di calcolare il lavoro a partire dalla sua definizione : $dL = vecF*vec(ds)$.

Allora, siccome il campo è conservativo, il lavoro non dipende dal cammino per andare dalla posizione iniziale alla finale. Vista la simmetria sferica del campo, assumi la sola coordinata radiale come variabile.
La forza di attrazione gravitazionale è centrale e diretta verso Terra; il suo modulo è una funzione della coordinata radiale, del tipo :

$F = k/r^2$

percio si può scrivere : $dL = -k/r^2dr$ , assumendo che il cammino per andare dal raggio 1 al raggio 2 sia nella stessa direzione della forza, ma in verso contrario. Quindi si tratta di calcolare un piccolo integrale tra le due posizioni :

$L = int_(r_1)^(r_2) -k/x^2dx$

e viene fuori che il lavoro del campo gravitazionale è negativo, ed è uguale alla variazione di energia potenziale gravitaz. :

$L = U_1 - U_2 = -k(1/r_1 - 1/r_2) $

Risulta che $U_2 > U_1$ , cioè più in alto va il satellite e più aumenta la sua EP rispetto alla Terra. Ed è logico: l'energia al satellite per aumentare di quota la devi fornire tu dall'esterno.

[ignorante]

ma quindi non si riesce a determinare questo lavoro perché manca k?

[giacor86]

se guardi dove navigatore ha introdotto la costante k, capisci anche cos'è e come calcolarla.

[navigatore]

Ma come "manca k" ??? Ho solo abbreviato la scrittura !!!

$U = - G (Mm)/r = -k/r$

Convenzionalmente si pone uguale a zero la EP gravitazionale per $r = \infty$ .

[ignorante]

Intanto grazie per le risposte!
Perdona le mie gravi lacune anche in matematica, la scrittura dL e dr cosa significano? sono operazioni di derivazione?
dL = -k/r^2 dr
quindi tu hai successivamente integrato per elidere la derivazione?
Mi accorgo che la variazione di energia potenziale da te calcolata differisce dalla variazione di energia cinetica da me calcolata per un fattore $-1/2$, l' energia cinetica che ho calcolato è corretta oppure anche quella è sbagliato? grazie