Spazi vettoriali normati di funzioni di 1 variabile complessa

[andsca94]

Nel libro "Interpolationa and approximation" di P. J. Davis, più precisamente nel capitolo 7, si lavora in spazi vettoriali normati $V$ e si definisce, dati ${x_i}_{i=1}^n \subset V$ insieme di vettori linearmente indipendenti e $y \in V$, la migliore approssimazione di $y$ come combinazione lineare dei ${x_i}_{i=1}^n$ come quel vettore $\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i$ che minimizza $||y- \sum_{i=1}^n \alpha_i x_i||$.
Si dimostra poi l'esistenza della migliore approssimazione (th. 7.4.1).
Poco dopo come corollario 7.4.4 si trova (traduco):
"Sia $ B $ una regione limitata del piano complesso $ \mathbb{C} $. Sia $f: B \rightarrow \mathbb{C}$ analitica in $B$ e continua in $ \bar{B} $.
Il problema di trovare $ \min _{a_0,...a_n\in\mathbb{C}} \max _{z\in S} | f(z)-(a_0+a_1z+...+a_nz^n)| $ ha soluzione ".
Qui è stato considerato:
- come spazio vettoriale $C[B]:={f:B \rightarrow \mathbb{C}$ continua su $ \bar{B} $ e analitica su $B}$
-come norma $||f||:=\max _{z\in B} |f(z)|$
Giusto?
E si applica il teorema 7.4.1.

La mia domanda è la seguente:
Come mai si richiede che le funzioni di $C[B]$ siano analitiche su $B$? é una condizone veramente necessaria?

L'unica possibile ragione che posso immaginare è che senza tale requisito $C[B]$ non sia uno spazio vettoriale o che $||f||$ non sia una norma (la seconda mi convince di meno).
Suggerimenti?

[j18eos]

La lancio così, senza pensarci troppo: le funzioni analitiche sono approssimabili quanto si vuole da funzioni polinomiali!

[andsca94]

Sicuramente non dici nulla di sbagliato, ma non mi porti tanto più lontano

[j18eos]

Faccio un secondo tentativo: la condizione dell'analiticità è necessaria in quanto lo stesso problema non avrebbe soluzione per la funzione (non analitica) \(\displaystyle f(z)=\overline{z}\)!

Sbaglio?

[dissonance]

La mia domanda è la seguente:
Come mai si richiede che le funzioni di $C[B]$ siano analitiche su $B$? é una condizone veramente necessaria?

L'unica possibile ragione che posso immaginare è che senza tale requisito $C[B]$ non sia uno spazio vettoriale o che $||f||$ non sia una norma (la seconda mi convince di meno).
Suggerimenti?

Probabilmente più avanti ha bisogno di approssimare funzioni analitiche, o cose del genere. Se il teorema che citi è vero (cosa di cui sono convinto, se non richiedi unicità del minimizzatore), allora puoi tranquillamente applicarlo nello spazio delle funzioni continue fin sul bordo di \(B\).

[andsca94]

Penso di aver risolto (premetto che non ho ancora fatto pressoché nulla di analisi complessa):
quando si definisce una norma si richiede che $ ||x|| \geq 0 \forall x\in V $.
Con la norma del max che ho riportato sopra devo quindi essere sicuro che per ogni $f\inC[B]$ la funzione $|f|$ ammetta massimo.
Leggendo qua e là mi sono imbattuto in un "teorema di massimo modulo" che presenta le ipotesi che ho menzionato sopra e risolverebbe il problema perché afferma l'esistenza del massimo nella chiusura di $B$.
Ben lungi dall'essere sicuro di quanto ho scritto, chiedo conferma a chi ne sa di più al riguardo.

[dissonance]

Se una funzione a valori complessi è continua su \(\overline{B}\), allora il suo modulo ha massimo. Questo è il teorema di Weierstrass, che conosci benissimo. Da qui consegue che lo spazio delle funzioni continue su \(\overline{B}\), dotato della norma che dicevamo, è uno spazio di Banach, e la proposizione sull'esistenza della migliore approssimazione è vera anche in questo spazio più grande. Non occorre alcun teorema di massimo modulo.

[andsca94]

Beh si questo in effetti è convincente!
A questo punto l'analiticità non mi pare necessaria.
grazie mille