Matrice associata applicazione lineare

[JWilmot]

Salve a tutti,
come faccio a scrivere la matrice associata di un'applicazione $T:\mathbb{R}_2[x]\rightarrow\mathbb{R}^2$
definita da $T(ax^2+bx+c) = (a+c, 2b-2a)$ ?

[andsca94]

Data un'applicazione lineare $f: V \rightarrow W$ con $V$, $W$ spazi vettoriali su uno stesso campo $\mathbb{K}$ di dimensione $l$,$m$ rispettivamente
1. scelgo una base per lo spazio di partenza $V$, chiamiamola $\mathcal{B}$
2. scelgo una base per lo spazio di arrivo $W$, chiamiamola $\mathcal{C}$
3. la matrice associata a $f$ rispetto alle basi $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$, denotata da $M_{\mathcal{C}, \mathcal{B}}(f) \in \mathcal{M}_{m,l} (\mathbb{K})$, la "costruisci" per colonne, ossia la j-esima colonna è composta dalle coordinate rispetto a $\mathcal{C}$ dell'immagine in $f$ del j-esimo vettore di $\mathcal{B}$.
Nota che per un'applicazione lineare non esiste una unica matrice associata perchè la matrice associata dipende anche dalle basi che scegli per gli spazi vettoriali tra cui sta l'applicazione.

[JWilmot]

Allora, io ho ragionato in questo modo:
lo spazio dei polinomi $\mathbb{R}_2[x]$ è isomorfo allo spazio vettoriale $\mathbb{R}^3$ quindi definisco un'applicazione $F_B: \mathbb{R}_2[x] \rightarrow \mathbb{R}^3$ che mi da le coordinate del polinomio $ax^2+bx+c$ rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}_2[x]$ che è ${1,x,x^2}$. Quindi le coordinate del polinomio sono banalmente ${a,b,c}$.
Adesso considero l'applicazione $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ definita da $f(a,b,c) = (a+c, 2b-2a)$ la cui matrice associata rispetto alla base canonica di $\mathbb{R}^3$ è: $((1,0,1),(-2,2,0))$

corretto?

[andsca94]

Credo di si, ho provato anche io e di fatto procedo allo stesso modo

[JWilmot]

Qualcun altro mi conferma il tutto?