Assioma T1 e spazio duale.

[Talos]

Nel libro che sto leggendo parla di spazio coniugato, immagino intenda spazio duale..........detto questo, dato lo spazio $E$, che è un spazio lineare topologico (su cui avevo già letto la dimostrazione sul fatto che sia regolare), dice che lo spazio duale $E^\star$ verifica necessariamente l'assioma di separazione $T_1$, ma non capisco assolutamente il perché.

Vi riporto la dimostrazione. Infatti se $f_0 \in E^\star$ e $f_0 \ne 0$, si troverà un elemento $x_0 \in E$ tale che $f_0(x_0) \ne 0$; poniamo $\epsilon = \frac{1}{2}|f_0(x_0)|$ e $A=\{x_0\}$, allora $f_0 \notin U_{\epsilon,A}$, vale a dire $E^\star$ è un $T_1$ spazio. Ci sto sbattendo la testa da stamane.

[dissonance]

Sta separando \(f_0\) da \(0\) usando il funzionale lineare continuo su \(E^\star\)
\[
f\in E^\star \mapsto \langle f, x_0\rangle\in \mathbb{K}.\]
Una volta fatto questo, un piccolo argomento di linearità mostra subito che ogni coppia di funzionali può essere separata.

[Talos]

Scusami se rispondo ora, ho visto solo stamattina la risposta. Ho riflettuto su quello che hai scritto, sei stato davvero di aiuto.

Ho cercato di scrivere i passaggi, ma non capisco come riesce a separare con quel funzionale $f_0$ e $0$. Scusami se sono un po' duro nella comprensione.

[dissonance]

Separare $0$ da $f$ mediante un funzionale $F$ significa che $F(f)=\alpha\ne 0=F(0)$. Chiaro questo? Una volta trovato questo funzionale separante, per ottenere una separazione topologica ti basta prendere il seguente intorno di $f$:
\[
F^{-1}\big (\alpha-\alpha/2, \alpha + \alpha/2)\big),
\]
(nel caso in cui lo spazio sia reale. Invece dell'intervallo, prendi un disco aperto se lo spazio è complesso). Questo intorno non contiene $0$ e quindi fa al caso nostro.

Nel caso in questione il funzionale separante è
\[F(f)=\langle f, x_0\rangle.\]

[Talos]

Grazie mille! Ora mi ritornano i passaggi, è tutto chiaro.