retta tangente

[alessandrof10]

Ragazzi è giusto definire la retta tangente come la miglior retta che approssima una curva.
cioè considerando una curva formata da infiniti punti e la distanza tra un punto e il successivo e infinitesima allora la retta tangente e quella retta che riesce a coprire due punti su tale curva. cioè la retta di miglior approssimazione

[kobeilprofeta]

La tangente "copre" o uno o infiniti (nel caso la "curva" sia una retta) punti... Non 2...
Piuttosto che essere la retta che l'approsima meglio, possiamo dire che è la retta che, senza intersecare la curva, le si avvicina di più.

[alessandrof10]

percio la retta tangente e quella retta che riesce a coprire piu punti possibili su una curva senza intersecarla ... parlo cosi perche sto cercando di capire a fondo usando immaginazione la derivata cercando in qualche modo di memorizzare nella mia testa un immagine geometrica di questi concetti base per analisi

[onlyReferee]

Di solito quando si parla di retta tangente ad una curva si considera la stessa in un solo punto. Il fatto che poi sia tangente a più punti della stessa è un caso particolare (volendo dirlo in maniera semplice). Nell'esempio proposto da kobeilprofeta con la retta la retta tangente va bene per tutti i punti della stessa e non ve ne sono altre. Se posso esserti di ulteriore aiuto basta che pensi bene ad un caso "meno particolare" di questo per chiarirti le idee come la funzione seno (poi possiamo applicare il ragionamento per analogia al coseno essendo lo stesso traslato di periodo $\pi / 2$ rispetto al seno): posso definire la retta $y = 1$ tangente alla curva nel punto con coordinate $(\pi / 2, 1)$ ma in realtà la stessa è retta tangente a tutti i punti della funzione esprimibili come $ x = \pi / 2 \pm 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ (sempre per ragioni di periodicità chiaramente).

[alessandrof10]

ho capito... adesso che hai tirato fuori le funzioni goniometriche mi è venuto un dubbio perche la derivata del seno è il coseno ???

cioè al di la del fatto di tutte le dimostrazioni matematiche che ci sono ma ragionando sul fatto che la retta tangente per h->0 va a coincidere con la segante del rapporto incrementale. come fa il coseno ad approssimare meglio il seno graficamente non lo capisco

[kobeilprofeta]

Tu immagina di tracciare la retta tangente a $sin x$ in $x=0$. Poi pensa a come modifica la propria inclinazione la tangente al variare la posizione sull'asse delle $x$. Immagina per esempio di disegnare un piccolo segmento di retta tangente per ogni punto della curva $sin x$.
Poi devi considerare che la derivata esprime il coefficiente angolare della retta. Quindi nel punto $x=x_0$, il coefficiente angolare della retta tangente a $sin x$ sarà pari a $cos x_0$.
Poi puoi notare che la funzione $sin x$ non cresce/decresce "troppo velocemente" infatti vale $-1<=cos x<=1$ $ AA x$ e quindi la tangente a $sin x$ non ha mai $|m|>1$ (m è il coefficiente angolare).

[alessandrof10]

profeta questa e la spiegazione che cercavo ma scusami se sono stupido ma non riesco ad immaginarmelo

ricapitolando da quanto ho capito prendo y=senx nel punto x=0 la retta tangente al seno è y=x in x=0 il coeficente angolare della retta tangente banalmente e 1 da qui come faccio a dire che la derivata è il coseno ??

[alessandrof10]

cioè devo verificare che per ogni x appartenente al dominio del seno il coefficente angolare della retta tangente avra un certo valore e quel valore deve essere uguale ad una "qualunque funzione"(in questo caso il coseno ) che nello stesso punto x avra' lo stesso valore del coefficente angolare ??

cioè sinx x=0 m=1 sinx x=90° m=0 ecc la derivata della funzione corrispondente a tale valori di m (1,0,ecc)per deduzione è il coseno

[onlyReferee]

In realtà lo puoi vedere "geometricamente" come suggerito da kobelilprofeta ma anche semplicemente applicando la definizione nuda e cruda di derivata dal punto di vista analitico, ossia calcolando il limite del rapporto incrementale al variare dell'incremento infinitesimo $h$ per la nostra funzione $\sin (x)$ in questione. Risulta:
\[
\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x) \cos(h) + \cos(x) \sin(h) - \sin(x)}{h} = \quad =\lim_{h \to 0} \frac{-\sin(x)(1 - \cos(h)) + \cos(x) \sin(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\sin(x)(1 - \cos(h))}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{ \cos(x) \sin(h)}{h} =
\]
\[
= -\sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)
\]
Dove per determinare $\sin (x + h)$ ho usato ovviamente le formule di addizione per il seno e gli altri due limiti notevoli calcolati non hanno bisogno di presentazioni.

[alessandrof10]

grazie only la dimostrazione matematica la so bene solo volevo apprendere al meglio il significato di derivata distaccandomi dalle solite dimostrazioni ma solo a scopo di capire al meglio il concetto