Spazi metrici e spazi Banach

[Bad90]

Nella seguente:

Ma che significato ha quella U grande???

E poi mi chiedo cosa significa $d(x,y)$ in questa?

[axpgn]

Beh, "la grande U" è il solito simbolo dell'unione tra insiemi; in quel caso, dato che sta a significare l'unione di più insiemi contemporaneamente, senza elencarli tutti uno per uno, per distinguerla da quella solita viene scritta in quel modo ma la sostanza non cambia. In pratica significa l'unione di tutti gli insiemi $A_i$ il cui indice $i$ varia nell'insieme $I$.

Mentre la seconda rappresenta la funzione "distanza" o "metrica" in uno spazio metrico (se ho letto bene e non dico cavolate ... )

Cordialmente, Alex

[onlyReferee]

Ciao Bad90
Poiché nella tesi di laurea che sto scrivendo ho incontrato in lungo ed in largo questi concetti, in particolar modo gli spazi metrici, ti posso confermare che nel primo caso la $\bigcup_{i \in A_i}$ denota un'unione di più insiemi (nella fattispecie gli $A_i$). Non ci metto la mano sul fuoco perché in realtà esistono diverse notazioni ma dovrebbe trattarsi di unione finitaria, ossia (come lo dice la parola stessa del resto) di un numero finito di insiemi. Quando si scrive semplicemente $\bigcup$ di solito invece si indica l'unione arbitraria di insiemi (che può anche essere infinita ma non necessariamente).
Riguardo al tuo secondo quesito $d(x, y)$, come correttamente affermato da axpgn, indica la distanza definita su uno spazio metrico (detta talvolta semplicemente metrica) e tre delle proprietà che deve soddisfare per essere tale sono proprio quelle elencate che, nell'ordine in cui sono riportate, corrispondono rispettivamente ad identità, simmetria e disuguaglianza triangolare. Nella tua immagine non è presente anche la quarta proprietà di cui deve godere la distanza metrica, ossia la positività (te la riporto lo stesso, non so se magari è solo l'immagine ad essere tagliata): $d(x, y) \geq 0 \forall x, y \in X$.
Una nota relativamente alla terza proprietà. Se la disuguaglianza triangolare è soddisfatta nella sua forma forte, ossia $d(x, y) \leq \max \{d(x, z), d(z, y)\} \forall x, y, z, \in X$ allora la distanza di dice ultrametrica e lo spazio di conseguenza è chiamato ultrametrico.
Spero di esserti stato d'aiuto, in caso chiedi pure.

[garnak.olegovitc]

@Bad90, ma come fai a trattare quei concetti senza sapere il senso di quelle scritture?

comunque sono rispettivamente CLIC e CLIC

P.S.=Alle volte basta "googlarle" certe cose, se cercavi con google d(x,y) nel risultato avevi come primo link direttamente wiki (in inglese) con riferimento al concetto di metrica

[Bad90]

Vi ringrazio amici!
Siete stati chiarissimi!

[gugo82]

Moderatore: gugo82

@ Bad90: Invece di linkare immagini, dovresti scrivere i testi in TeX. Infatti, le immagini dopo un certo tempo vanno perse, il TeX sul forum no.
Dato che sei qui da anni, queste cose dovresti saperle bene.
Uomo avvisato.