sulla definizione di \( \mathcal{B}_f(c,r[\) con \( r \in \Bbb{R}\) (anche \(r\leq0\))

[garnak.olegovitc]

ieri ne discutevo con un amico, di solito la definizione che si da di "palla aperta rispetto ad \(f\) di centro \(c\) e raggio \(r \)" è la seguente:

Def. 1: siano dati \((a,f)\) uno spazio metrico, \(c \in a\) ed \( r \in \Bbb{R}_{>0}\), dicesi "palla aperta rispetto ad \(f\) di centro \(c\) e raggio \(r \)" l'insieme $$\mathcal{B}_f(c,r[\;=\{x|x \in a \wedge f((c,x))<r\}$$ora, perchè considerare il caso solo con \(r \in\Bbb{R}_{>0}\)?, prendiamo il caso per un generico \( r \in \Bbb{R}\) allora la definizione diventa:

Def. 2: siano dati \((a,f)\) uno spazio metrico, \(c \in a\) ed \( r \in \Bbb{R}\), dicesi "palla aperta rispetto ad \(f\) di centro \(c\) e raggio \(r \)" l'insieme $$\mathcal{B}_f(c,r[\;=\{x|x \in a \wedge f((c,x))<r\}$$la cosa diventa, a mio scarso parere, leggermente curiosa... in quanto \(\mathcal{B}_f(c,r[\) avrà questa proprietà (sperando di averla formulata adeguatamente):

Prop. 1: siano dati \((a,f)\) uno spazio metrico, \( c \in a \) ed \( r \in \Bbb{R}\), allora $$r \leq 0\Rightarrow \mathcal{B}_f(c,r[\;=\emptyset $$ e una sua ipotetica dimostrazione potrebbe essere questa:
Proof. 1: devo dimostrare che \(\mathcal{B}_f(c,r[\;=\emptyset \) ovvero \( \nexists x \in \mathcal{B}_f(c,r[\), se procedo per assurdo allora \( \exists x \in \mathcal{B}_f(c,r[\), per ipotesi \(r \leq 0 \) e \( \mathcal{B}_f(c,r[\;=\{z |z \in a \wedge f((c,z))<r\}\) e essendo \( f \) una metrica su \(a \) ottengo \(0 \leq f((c,x))<r\leq0 \) ovvero \( 0 \leq f((c,x))<0\)

secondo voi è lecito|corretto? O mi sfugge qualcosa? Io penso di si, il motivo di questa estensione sta nel fatto che in alcune dimostrazione uscivano (negando la tesi) delle palle aperte del tipo della Def. 2 ergo volevo dare un senso a quelle scritture..

Per la Prop.1, ammesso sia possibile tutto il ragionamento di prima, vorrei sapere se è possibile un \(\Leftrightarrow\)..

Ringrazio a priori per qualunque delucidazione|conferma!

edit 9.13: ok, penso che l'altro verso \( \Leftarrow\) sia possibile, dovendo dimostrare $$r \leq 0\Leftarrow \mathcal{B}_f(c,r[\;=\emptyset $$ procedo per assurdo quindi \( r > 0 \wedge \mathcal{B}_f(c,r[\;=\emptyset \) ma se \( r >0\) allora \( c \in \mathcal{B}_f(c,r[\) poichè \( 0\leq f((c,c))=0<r\) è ovvio, ergo \( \mathcal{B}_f(c,r[ \neq \emptyset\)

[vict85]

Ti stai rendendo la vita inutilmente complicata e non penso che esca mai qualcosa come la Def. 2.

Comunque da \(\displaystyle \forall y,\, d(x,y) > 0 \) (è una metrica) deduci \(\displaystyle \forall y,\, d(x,y) > 0 > r \) e quindi la tesi.

[garnak.olegovitc]

@vict85, ok.. thanks per la risposta ; è solo che alla e volte, dato un \( x \in t\), mi capita di negare che \( \exists r \in \Bbb{R}_{>0}(\mathcal{B}(x,r[\; \subseteq t)\) ritrovandomi scritture strane del tipo \( \forall r \in \Bbb{R}_{\leq 0}(\mathcal{B}(x,r[\; \nsubseteq t)\)* ed usando la Def. 1 non so dare un senso a quella palla proprio perchè secondo quella Def. \( r \in \Bbb{R}_{>0}\), solo per quello pensavo ad una leggera estensione, non per altro.. un tuo parere in merito? Ti ringrazio a priori!

*ovviamente posso fermarmi/limitarmi a scrivere \(\nexists\)