Esercizi Spazi Metrici

[Bad90]

Ho il seguente esercizio 2.1

Sia $X$ un insieme e sia, per $x,y in X$:

$ d(x,y)={ ( 0 if x=y ),( 1 if x!=y ):} $

Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.


Potreste darmi per favore qualche dritta in merito a quello che bisogna dire per rispondere alla traccia???

[axpgn]

Premesso che non ho capito questa frase

Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.

per verificare che quello è uno spazio metrico devi sottoporre quella definizione della distanza che hai scritto alle condizioni che hai postato l'altra volta.

E' sempre non negativa?

E' nulla quando $x=y$?

E' commutativa?

Vale la disuguaglianza triangolare?

[Bad90]

Premesso che non ho capito questa frase

Verificare che $(X,d)$ è uno spazio metrico quale ogni insieme è aperto e chiuso.

per verificare che quello è uno spazio metrico devi sottoporre quella definizione della distanza che hai scritto alle condizioni che hai postato l'altra volta.

E' sempre non negativa?

E' nulla quando $x=y$?

E' commutativa?

Vale la disuguaglianza triangolare?

Allora si tratta di dimostrare quelle proprietà....???

[axpgn]

Quelle sono le proprietà che vanno verificate per dimostrare che è uno spazio metrico; se poi devi fare altro ... non saprei ...

[Bad90]

Tu come risponderesti?????

[axpgn]

Sì

... non è difficile da dimostrare ... prova, vedrai ...

Questa "metrica" viene detta "metrica discreta".

[Bad90]

Sì

... non è difficile da dimostrare ... prova, vedrai ...

Questa "metrica" viene detta "metrica discreta".

Dammi conferma:

Definizione: Sia $X$ un insieme qualsiasi. Una distanza su$ X$ e' un’ap-
plicazione $d : X × X -> R$ tale che
i)$ d(x,y) ≥ 0 $per ogni $x, y$ in $X$, e$ d(x,y) = 0$ se e solo se $x = y$
(positivita`);
ii) $d(x, y) = d(y, x)$ per ogni $x, y$ in $X$ (simmetria);
iii) $d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) $per ogni $x, y$ e$ z$ in $X$ (disuguaglianza trian- golare).
Uno spazio metrico `e una coppia $(X,d)$ con $X $ insieme qualsiasi, e d distanza su $X$.

Sia $X$ un insieme qualsiasi e $d(x, y) = 1$ se $x!= y$,$ d(x, y) = 0$ se$ x = y$. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono; per la iii), se $x = y$ non c’`e nulla da dimostrare; se $x!= y$, si deve provare che $d(x, z)+d(z, y) ≥ 1 $per ogni $x$,$y$ e $z$ in$ X $con $x!= y$, fatto questo che risulta essere vero, essendo almeno uno tra i valori $d(x, z)$ e $d(y, z) $uguale a$ 1 $(non possono essere entrambi nulli, dato che se lo fossero, si avrebbe $x = z $e $z = y$ per la i), da cui $x = y$, il che non e'. La distanza d prende il nome di distanza discreta.



P.S. Potresti arricchire tu questi concetti, in base alla tua esperienza in materia, come esporresti questo concetto?????

[axpgn]

Mi sembra tutto giusto ...

Purtroppo, non posso arricchire niente perché di "esperienza in materia" non ne ho ...
Sono concetti che ho letto qualche tempo fa ma che non ho mai approfondito ... chissà in futuro ...

Cordialmente, Alex

[gugo82]

Sia $X$ un insieme qualsiasi e $d(x, y) = 1$ se $x!= y$,$ d(x, y) = 0$ se$ x = y$. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono; [...]

E fammelo vedere che è facile.

[...] per la iii), se $x = y$ non c’`e nulla da dimostrare; se $x!= y$, si deve provare che $d(x, z)+d(z, y) ≥ 1 $per ogni $x$,$y$ e $z$ in$ X $con $x!= y$, fatto questo che risulta essere vero, essendo almeno uno tra i valori $d(x, z)$ e $d(y, z) $uguale a$ 1 $(non possono essere entrambi nulli, dato che se lo fossero, si avrebbe $x = z $e $z = y$ per la i), da cui $x = y$, il che non e'.

Ok.

[Bad90]

Sia $X$ un insieme qualsiasi e $d(x, y) = 1$ se $x!= y$,$ d(x, y) = 0$ se$ x = y$. Si verifica facilmente che i) e ii) valgono; [...]

E fammelo vedere che è facile.

Ciao Gugo82, inizio con il dire che quella è una def., e preferisco esporre il concetto in quel modo, (penso che anche tu faresti lo stesso), vero , pero penso che sia facile capire che un insieme $X$ è sempre $>=0$ e che se $x=y$ allora $d(x,y)=0$, in quanto se si pensa ad un segmento orientato avente una certa lunghezza, mi sembra chiaro che la sua lunghezza debba essere per forza $>=0$, si tratta del modulo della lunghezza!

Se ho detto qualche cosa di sbagliato, dimmi pure, ma sappi che le spiegazioni che ho cercato di dare, non sono in un linguaggio matematichese, perchè io sono abituato ad esporre i concetti così come in grandi matematici li hanno definiti